giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: một số phương pháp tính tích phân

Bài viết này cung cấp hướng dẫn chi tiết giải các bài tập trong phần "Câu hỏi và bài tập" và "Luyện tập" của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, chuyên đề "Một số phương pháp tính tích phân". Bài viết tập trung vào việc áp dụng hai phương pháp chính: đổi biến số và tích phân từng phần.

Ưu điểm nổi bật:

• Chi tiết và dễ hiểu: Mỗi bài tập được giải một cách cẩn thận, với đầy đủ các bước biến đổi và giải thích rõ ràng. Điều này giúp học sinh dễ dàng theo dõi và nắm bắt phương pháp giải.
• Đa dạng bài tập: Bài viết bao gồm nhiều dạng bài tập khác nhau, từ cơ bản đến nâng cao, giúp học sinh làm quen với nhiều tình huống khác nhau trong việc tính tích phân.
• Áp dụng linh hoạt các phương pháp: Bài viết thể hiện sự linh hoạt trong việc áp dụng các phương pháp đổi biến số và tích phân từng phần. Các ví dụ minh họa cho thấy cách lựa chọn phương pháp phù hợp cho từng loại tích phân.
• Trình bày khoa học: Các bước giải được trình bày một cách logic và khoa học, giúp người đọc dễ dàng nắm bắt được quy trình giải bài tập.
• Đầy đủ lời giải: Tất cả các bài tập đều có lời giải chi tiết, giúp học sinh có thể tự kiểm tra kết quả và hiểu rõ hơn về phương pháp giải.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 17. Dùng phương pháp đổi biến số tính các tích phân sau:

a) \(\int_0^1 {\sqrt {x + 1} dx} .\)

Lời giải:

Đặt \(u = \sqrt {x + 1} \) \( \Rightarrow {u^2} = x + 1\) \( \Rightarrow 2udu = dx.\)

\(x = 0\) \( \Rightarrow u = 1\), \(x = 1\) \( \Rightarrow u = \sqrt 2 .\)

Suy ra: \(\int_0^1 {\sqrt {x + 1} dx} \) \( = \int_1^{\sqrt 2 } u .2udu\) \( = \left. {2.\frac{{{u^3}}}{3}} \right|_1^{\sqrt 2 }\) \( = \frac{{4\sqrt 2 }}{3} – \frac{2}{3}.

b) \(\int_0^{\pi /4} {\frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} .\)

Lời giải:

Đặt \(u = \tan x\) \( \Rightarrow du = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx.\)

\(x = 0\) \( \Rightarrow u = 0\), \(x = \frac{\pi }{4}\) \( \Rightarrow u = 1.\)

Vậy \(\int_0^{\pi /4} {\frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \) \( = \int_0^1 u .du\) \( = \left. {\frac{{{u^2}}}{2}} \right|_0^1 = \frac{1}{2}.

c) \(\int_0^1 {{t^3}} {\left( {1 + {t^4}} \right)^3}dx.\)

Lời giải:

Đặt \(u = 1 + {t^4}\) \( \Rightarrow du = 4{t^3}dt\) \( \Rightarrow {t^3}dt = \frac{{du}}{4}.\)

\(t = 0\) \( \Rightarrow u = 1\), \(t = 1\) \( \Rightarrow u = 2.\)

Suy ra: \(\int_0^1 {{t^3}} {\left( {1 + {t^4}} \right)^3}dt\) \( = \int_1^2 {{u^3}} \frac{{du}}{4}\) \( = \left. {\left( {\frac{1}{4}.\frac{{{u^4}}}{4}} \right)} \right|_1^2\) \( = \frac{1}{{16}}(16 – 1) = \frac{{15}}{{16}}.\)

Vậy \(\int_0^1 {{t^3}} {\left( {1 + {t^4}} \right)^3}dt = \frac{{15}}{{16}}.

d) \(\int_0^1 {\frac{{5x}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}dx.} \)

Lời giải:

Đặt \(u = {x^2} + 4\) \( \Rightarrow xdx = \frac{{du}}{2}\), \(x = 0\) \( \Rightarrow u = 4\), \(x = 1\) \( \Rightarrow u = 5.\)

Suy ra: \(\int_0^1 {\frac{{5x}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}dx} \) \( = \frac{5}{2}\int_4^5 {\frac{{du}}{{{u^2}}}} \) \( = \frac{5}{2}\int_4^5 {{u^{ – 2}}} du\) \( = \left. {\frac{5}{2}.\frac{{{u^{ – 1}}}}{{ – 1}}} \right|_4^5.\)

\( = \left. {\frac{{ – 5}}{2}.\frac{1}{u}} \right|_4^5\) \( = \frac{5}{2}\left( {\frac{1}{4} – \frac{1}{5}} \right) = \frac{1}{8}.

e) \(\int_0^{\sqrt 3 } {\frac{{4x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} .\)

Lời giải:

Đặt \(u = \sqrt {{x^2} + 1} \) \( \Leftrightarrow {u^2} = {x^2} + 1\) \( \Leftrightarrow udu = xdx.\)

\(x = 0\) \( \Rightarrow u = 1\), \(x = \sqrt 3 \) \( \Rightarrow u = 2.\)

Vậy \(\int_0^{\sqrt 3 } {\frac{{4x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} \) \( = 4\int_1^2 {\frac{{udu}}{u}} = 4\int_1^2 d u\) \( = \left. {4u} \right|_1^2 = 4.

f) \(\int_0^{\pi /6} {(1 – \cos 3x)} \sin 3xdx.\)

Lời giải:

Đặt \(u = 1 – \cos 3x\) \( \Rightarrow \frac{1}{3}du = \sin 3xdx.\)

\(x = 0\) \( \Rightarrow u = 0\), \(x = \frac{\pi }{6}\) \( \Rightarrow u = 1.\)

Vậy \(\int_0^{\pi /6} {(1 – \cos 3x)} \sin 3xdx\) \( = \frac{1}{3}\int_0^1 {udu} \) \( = \left. {\frac{1}{3}\frac{{{u^2}}}{2}} \right|_0^1 = \frac{1}{6}.

Bài 18. Dùng phương pháp tích phân từng phần để tính các tích phân sau:

a) \(\int_1^2 {{x^5}} \ln xdx.\)

Lời giải:

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \ln x}\\ {dv = {x^5}dx} \end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {du = \frac{1}{x}dx}\\ {v = \frac{{{x^6}}}{6}} \end{array}} \right..\)

Suy ra \(\int_1^2 {{x^5}} \ln xdx\) \( = \left. {\frac{{{x^6}.\ln x}}{6}} \right|_1^2 – \int_1^2 {\frac{{{x^6}}}{6}} .\frac{1}{x}dx\) \( = \frac{{32}}{3}\ln 2 – \int_1^2 {\frac{{{x^5}}}{6}dx} .\)

\( = \frac{{32}}{3}\ln 2 – \left. {\left( {\frac{{{x^6}}}{{36}}} \right)} \right|_1^2\) \( = \frac{{32}}{3}\ln 2 – \frac{7}{4}.

b) \(\int_0^1 {(x + 1){e^x}dx} .\)

Lời giải:

Đặt \(u = x + 1\), \(dv = {e^x}dx\) \( \Rightarrow du = dx\), \(v = {e^x}.\)

Suy ra \(\int_0^1 {(x + 1){e^x}dx} \) \( = \left. {{e^x}(x + 1)} \right|_0^1\) \( – \int_0^1 {{e^x}} dx\) \( = 2e – 1 – \left. {{e^x}} \right|_0^1\) \( = 2e – 1 – (e – 1) = e.

c) \(\int_0^\pi {{e^x}} \cos xdx.\)

Lời giải:

Đặt \(u = \cos x\), \(dv = {e^x}dx\) \( \Rightarrow du = – \sin xdx\), \(v = {e^x}.\)

Suy ra \(\int_0^\pi {{e^x}} \cos xdx\) \( = \left. {{e^x}\cos x} \right|_0^\pi + \int_0^\pi {{e^x}} \sin xdx\) \( = – {e^\pi } – 1 + {I_1}.\)

Tính \({I_1} = \int_0^\pi {{e^x}} \sin xdx.\)

Đặt \({u_1} = \sin x\), \(d{v_1} = {e^x}dx\) \( \Rightarrow d{u_1} = \cos xdx\), \({v_1} = {e^x}.\)

Suy ra \({I_1} = \left. {{e^x}.\sin x} \right|_0^\pi – \int_0^\pi {{e^x}} \cos xdx\) \( = – I.\)

Vậy \(I = – \left( {{e^\pi } + 1} \right) – I\) \( \Leftrightarrow 2I = – \left( {{e^\pi } + 1} \right).\)

Vậy \(\int_0^\pi {{e^x}} \cos xdx = – \frac{{{e^\pi } + 1}}{2}.

d) \(\int_0^{\pi /2} {x\cos xdx} .\)

Lời giải:

Đặt \(u = x\), \(dv = \cos xdx\) \( \Rightarrow du = dx\), \(v = \sin x.\)

Suy ra: \(\int_0^{\pi /2} x \cos xdx\) \( = \left. {x.\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} – \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} \) \( = \frac{\pi }{2} + \left. {(\cos x)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\) \( = \frac{\pi }{2} – 1.

Vậy \(\int_0^{\pi /2} x \cos xdx = \frac{\pi }{2} – 1.

LUYỆN TẬP

Bài 19. Tính:

a) \(\int_0^1 {\sqrt {{t^5} + 2t} } \left( {2 + 5{t^4}} \right)dt.\)

Lời giải:

Đặt \(\sqrt {{t^5} + 2t} = u\) \( \Rightarrow {u^2} = {t^5} + 2t\) \( \Rightarrow 2udu = \left( {5{t^4} + 2} \right)dt.\)

Với \(t = 0\) \( \Rightarrow u = 0\), \(t = 1\) \( \Rightarrow u = \sqrt 3 .\)

Suy ra \(\int_0^1 {\sqrt {{t^5} + 2t} } \left( {2 + 5{t^4}} \right)dt\) \( = \int_0^{\sqrt 3 } 2 {u^2}du\) \( = \left. {\frac{2}{3}{u^3}} \right|_0^{\sqrt 3 } = 2\sqrt 3 .

b) \(\int_0^{\pi /2} x \sin x\cos xdx.\)

Lời giải:

Ta có: \(\int_0^{\pi /2} x \sin x\cos xdx\) \( = \frac{1}{2}\int_0^{\pi /2} x \sin 2xdx.\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = x}\\ {dv = \sin 2xdx} \end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {du = dx}\\ {v = – \frac{1}{2}\cos 2x} \end{array}} \right..\)

Suy ra \(\frac{1}{2}\int_0^{\pi /2} x \sin 2xdx\) \( = – \left. {\frac{1}{4}x\cos 2x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\) \( + \frac{1}{4}\int_0^{\pi /2} {\cos 2xdx} .\)

\( = – \frac{1}{4}\left( { – \frac{\pi }{2} – 0} \right)\) \( + \left. {\frac{1}{4}.\frac{1}{2}\sin 2x} \right|_0^{\pi /2}\) \( = \frac{\pi }{8}.

Vậy \(\int_0^{\pi /2} x \sin x\cos xdx = \frac{\pi }{8}.

Bài 20. Tính:

a) \(\int_0^\pi 5 {(5 – 4\cos t)^{\frac{1}{4}}}\sin tdt.\)

Lời giải:

Đặt \(5 – 4\cos t = u\) \( \Rightarrow du = 4\sin tdt\) \( \Rightarrow \sin tdt = \frac{{du}}{4}.\)

\(t = 0\) \( \Rightarrow u = 1\), \(t = \pi \) \( \Rightarrow u = 9.\)

Suy ra \(\int_0^\pi 5 {(5 – 4\cos t)^{\frac{1}{4}}}\sin tdt\) \( = \frac{5}{4}\int_1^9 {{u^{1/4}}} du\) \( = \left. {\frac{5}{4}.\frac{{{u^{\frac{1}{4} + 1}}}}{{\frac{1}{4} + 1}}} \right|_1^9\) \( = \left. {{u^{\frac{5}{4}}}} \right|_1^9 = {9^{\frac{5}{4}}} – 1.

b) \(\int_0^{\sqrt 3 } {\frac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} .\)

Lời giải:

Đặt \(u = \sqrt {{x^2} + 1} \) \( \Rightarrow {u^2} = {x^2} + 1\) \( \Rightarrow {x^2} = {u^2} – 1.\)

\( \Rightarrow udu = xdx.\)

Đổi cận: \({x = 0 \Rightarrow u = 1}\), \({x = \sqrt 3 \Rightarrow u = 2.}\)

Suy ra \(\int_0^{\sqrt 3 } {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} \) \( = \int_0^{\sqrt 3 } {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}xdx} .\)

\( = \int_1^2 {\frac{{{u^2} – 1}}{u}udu} \) \( = \int_1^2 {\left( {{u^2} – 1} \right)du} \) \( = \left. {\left( {\frac{{{u^3}}}{3} – u} \right)} \right|_1^2.\)

\({ = \frac{8}{3} – 2 – \left( {\frac{1}{3} – 1} \right)}\) \({ = \frac{4}{3}.}

Bài 21. Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm \(\frac{{\sin x}}{x}\) trên \((0; + \infty ).\) Khi đó \(\int_1^3 {\frac{{\sin 2x}}{x}dx} \) là:

(A) \(F(3) – F(1).\)

(B) \(F(6) – F(2).\)

(C) \(F(4) – F(2).\)

(D) \(F(6) – F(4).\)

Lời giải:

Đáp án (B) vì \(\frac{{\sin x}}{x}\) có nguyên hàm là \(F(x).\)

Suy ra: \(\frac{{2\sin 2x}}{{2x}}\) có nguyên hàm là \(F(2x).\)

Suy ra: \(\int_1^3 {\frac{{\sin 2x}}{x}dx} = \left. {F(2x)} \right|_1^3\) \( = F(6) – F(2).

Bài 22. Chứng minh rằng:

a) \(\int_0^1 f (x)dx = \int_0^1 f (1 – x)dx.\)

Lời giải:

Xét \(VT = \int_0^1 f (x)dx.\)

Đặt \(x = 1 – t\) \( \Rightarrow dx = – dt\), \(x = 0 \Rightarrow t = 1\), \(x = 1 \Rightarrow t = 0.\)

Suy ra \(VT = \int_1^0 f (1 – t)( – dt)\) \( = \int_0^1 f (1 – t)dt.\)

Mà \(\int_a^b f (x)dx = \int_a^b f (t)dt.\)

Suy ra: \(VT = \int_0^1 f (1 – x)dx = VP.

b) \(\int_{ – 1}^1 f (x)dx\) \( = \int_0^1 {[f(x) + f( – x)]dx} .\)

Lời giải:

\(VT = \int_{ – 1}^1 f (x)dx\) \( = \int_{ – 1}^0 f (x)dx + \int_0^1 f (x)dx\) \((*).\)

Xét \(I = \int_{ – 1}^0 f (x)dx.\)

Đặt \(t = – x\) \( \Rightarrow dx = – dt\), \(x = – 1 \Rightarrow t = 1\), \(x = 0 \Rightarrow t = 0.\)

Suy ra \(I = \int_1^0 f ( – t)( – dt)\) \( = \int_0^1 f ( – t)dt\) \( = \int_0^1 f ( – x)dx.\)

Thay vào \((*)\) ta được:

\(VT = \int_0^1 f (x)dx + \int_0^1 f ( – x)dx\) \( = \int_0^1 {(f(} x) + f( – x))dx = VP.

Bài 23. Cho \(\int_0^1 f (x)dx = 3.\) Tính \(\int_{ – 1}^0 f (x)dx\) trong các trường hợp sau:

a) \(f(x)\) là hàm số lẻ.

Lời giải:

Nếu \(f(x)\) là hàm số lẻ thì: \(\int_{ – 1}^1 f (x)dx = 0.\)

\( \Leftrightarrow \int_{ – 1}^0 f (x)dx + \int_0^1 f (x)dx = 0\) \( \Leftrightarrow \int_{ – 1}^0 f (x)dx + 3 = 0\) \( \Rightarrow \int_{ – 1}^0 f (x)dx = – 3.

b) \(f(x)\) là hàm số chẵn.

Lời giải:

Nếu \(f(x)\) là hàm số chẵn thì: \(\int_{ – 1}^0 f (x)dx = \int_0^1 f (x)dx = 3.

Bài 24. Tính các tích phân sau:

a) \(\int_1^2 {{x^2}} {e^{{x^3}}}dx.\)

Lời giải:

Tính \(I = \int_1^2 {{x^2}} {e^{{x^3}}}dx.\)

Đặt \(u = {x^3}\) \( \Rightarrow du = 3{x^2}dx\) \( \Leftrightarrow {x^2}dx = \frac{{du}}{3}.\)

Với \(x = 1 \Rightarrow u = 1\), \(x = 2 \Rightarrow u = 8.\)

Suy ra: \(I = \frac{1}{3}\int_1^8 {{e^u}} du\) \( = \left. {\frac{1}{3}{e^u}} \right|_1^8 = \frac{{{e^8} – e}}{3}.

b) \(\int_1^3 {\frac{1}{x}} {(\ln x)^2}dx.\)

Lời giải:

Tính \(J = \int_1^3 {\frac{1}{x}} {(\ln x)^2}dx.\)

Đặt \(u = \ln x\) \( \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx\), \(x = 1 \Rightarrow u = 0\), \(x = 3 \Rightarrow u = \ln 3.\)

Suy ra \(J = \int_0^{\ln 3} {{u^2}} du\) \( = \left. {\frac{{{u^3}}}{3}} \right|_0^{\ln 3} = \frac{{{{(\ln 3)}^3}}}{3}.

c) \(\int_0^{\sqrt 3 } x \sqrt {1 + {x^2}} dx.\)

Lời giải:

Đặt \(u = \sqrt {1 + {x^2}} \) \( \Rightarrow {u^2} = 1 + {x^2}\) \( \Leftrightarrow udu = xdx.\)

\(x = 0 \Rightarrow u = 1\), \(x = \sqrt 3 \Rightarrow u = 2.\)

Suy ra \(\int_0^2 {{u^2}} du = \left. {\frac{{{u^3}}}{3}} \right|_1^2 = \frac{7}{3}.

Vậy \(\int_0^{\sqrt 3 } x \sqrt {1 + {x^2}} dx = \frac{7}{3}.

d) \(\int_0^1 {{x^2}} {e^{3{x^3}}}dx.\)

Lời giải:

Tính \(K = \int_0^1 {{x^2}} {e^{3{x^3}}}dx.\)

Đặt \(u = 3{x^3}\) \( \Rightarrow du = 9{x^2}dx\) \( \Rightarrow {x^2}dx = \frac{{du}}{9}\), \(x = 0 \Rightarrow u = 0\), \(x = 1 \Rightarrow u = 3.\)

Suy ra: \(K = \int_0^3 {{e^u}} \frac{{du}}{9}\) \( = \left. {\frac{1}{9}{e^u}} \right|_0^3 = \frac{1}{9}\left( {{e^3} – 1} \right).

e) \(\int_0^{\pi /2} {\frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}}dx.} \)

Lời giải:

Tính \(L = \int_0^{\pi /2} {\frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}}dx} .\)

Đặt \(u = 1 + \sin x\) \( \Rightarrow \cos xdx = du\), \(x = 0 \Rightarrow u = 1\), \(x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow u = 2.\)

Suy ra \(L = \int_1^2 {\frac{{du}}{u}} \) \( = \left. {\ln |u|} \right|_1^2 = \ln |2| = \ln 2.

Bài 25. Tính các tích phân sau:

a) \(\int_0^{\pi /4} x \cos 2xdx.\)

Lời giải:

Tính \(I = \int_0^{\pi /4} x \cos 2xdx.\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = x}\\ {dv = \cos 2xdx} \end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {du = dx}\\ {v = \frac{1}{2}\sin 2x} \end{array}} \right..\)

Suy ra \(I = \int_0^{\pi /4} x \cos 2xdx\) \( = \left. {\frac{1}{2}x.\sin 2x} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}\) \( – \frac{1}{2}\int_0^{\pi /4} {\sin } 2xdx.\)

\( = \frac{\pi }{8} + \left. {\frac{1}{4}(\cos 2x)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}\) \( = \frac{\pi }{8} – \frac{1}{4}.

b) \(\int_0^1 {\frac{{\ln (2 – x)}}{{2 – x}}dx} .\)

Lời giải:

Xét \(J = \int_0^1 {\frac{{\ln (2 – x)}}{{2 – x}}dx} .\)

Đặt \(u = \ln (2 – x)\) \( \Rightarrow du = – \frac{1}{{2 – x}}dx.\)

\(x = 0 \Rightarrow u = \ln 2\), \(x = 1 \Rightarrow u = 0.\)

Suy ra \(J = – \int_{\ln 2}^0 {udu} \) \( = \int_0^{\ln 2} {udu} = \left. {\frac{{{u^2}}}{2}} \right|_0^{\ln 2}\) \( = \frac{{{{\ln }^2}2}}{2}.

Vậy \(\int_0^1 {\frac{{\ln (2 – x)}}{{2 – x}}dx} = \frac{{{{\ln }^2}2}}{2}.

c) \(\int_0^{\pi /2} {{x^2}} \cos xdx.\)

Lời giải:

Đặt \(K = \int_0^{\pi /2} {{x^2}} \cos xdx.\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = {x^2}}\\ {dv = \cos xdx} \end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {du = 2xdx}\\ {v = \sin x} \end{array}} \right..\)

Suy ra \(K = \left. {{x^2}.\sin x} \right|_0^{\pi /2}\) \( – 2\int_0^{\pi /2} x \sin xdx\) \( = \frac{{{\pi ^2}}}{4} – 2{K_1}.\)

Tính \({K_1} = \int_0^{\pi /2} x \sin xdx.\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_1} = x}\\ {d{v_1} = \sin xdx} \end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {d{u_1} = dx}\\ {{v_1} = – \cos x} \end{array}} \right..\)

Suy ra \({K_1} = – \left. {x\cos x} \right|_0^{\pi /2} + \int_0^{\pi /2} {\cos xdx} \) \( = \left. {\sin x} \right|_0^{\pi /2} = 1.

Vậy \(K = \frac{{{\pi ^2}}}{4} – 2.

d) \(\int_0^1 {{x^2}} \sqrt {{x^3} + 1} dx.\)

Lời giải:

Đặt \(u = \sqrt {{x^3} + 1} \) \( \Rightarrow {u^2} = {x^3} + 1\) \( \Leftrightarrow 2udu = 3{x^2}dx.\)

\(x = 0\) \( \Rightarrow u = 1\), \(x = 1\) \( \Rightarrow u = \sqrt 2 .\)

Suy ra \(\int_0^1 {{x^2}} \sqrt {{x^3} + 1} dx\) \( = \frac{2}{3}\int_1^{\sqrt 2 } {{u^2}} du\) \( = \left. {\frac{2}{3}.\frac{{{u^3}}}{3}} \right|_1^{\sqrt 2 }\) \( = \frac{2}{9}(2\sqrt 2 – 1).

e) \(\int_0^e {{x^2}} \ln xdx.\)

Lời giải:

Xét \(L = \int_0^e {{x^2}} \ln xdx.\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \ln x}\\ {dv = {x^2}dx} \end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {du = \frac{1}{x}dx}\\ {v = \frac{{{x^3}}}{3}} \end{array}} \right..\)

Suy ra \(L = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}\ln x} \right|_0^e – \int_0^e {{x^2}} \frac{{dx}}{3}\) \( = \frac{{{e^3}}}{3} – \left. {\frac{1}{9}{x^3}} \right|_0^e = \frac{2}{9}{e^3}.

Vậy \(\int_0^e {{x^2}} \ln xdx = \frac{2}{9}{e^3}.