giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: một số phương pháp tìm nguyên hàm

Bài viết này cung cấp hướng dẫn giải chi tiết các bài tập về chủ đề "Một số phương pháp tìm nguyên hàm" trong sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao. Nội dung bao gồm cả phần "Câu hỏi và bài tập" và phần "Luyện tập", giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 5. Sử dụng phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

• a) \(f(x) = \frac{{9{x^2}}}{{\sqrt {1 – {x^3}} }}.\)
• b) \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt {5x + 4} }}.\)
• c) \(f(x) = x\sqrt[4]{{1 – {x^2}}}.\)
• d) \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt x {{(1 + \sqrt x )}^2}}}.\)

Lời giải:

a) \(f(x) = \frac{{9{x^2}}}{{\sqrt {1 – {x^3}} }}\) \( \Rightarrow \int f (x)dx = \int {\frac{{9{x^2}}}{{\sqrt {1 – {x^3}} }}dx} .\)

Đặt \(u = 1 – {x^3}\) thì \(du = – 3{x^2}dx\) nên:

\(\int {\frac{{9{x^2}}}{{\sqrt {1 – {x^3}} }}dx} \) \( = \int {\frac{{ – 3du}}{{\sqrt u }}} \) \( = – 3\int {{u^{ – \frac{1}{2}}}} du\) \( = – 6\sqrt u + C\) \( = – 6\sqrt {1 – {x^3}} + C.\)

b) \(\int f (x)dx\) \( = \int {\frac{1}{{\sqrt {5x + 4} }}dx} \) \( = \frac{1}{5}\int {\frac{{d(5x + 1)}}{{{{(5x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}}} \) \( = \frac{1}{5}\int {{{(5x + 1)}^{ – \frac{1}{2}}}} d(5x + 1).\)

\( = \frac{1}{5}2.{(5x + 1)^{\frac{1}{2}}} + C\) \( = \frac{2}{5}\sqrt {5x + 4} + C.\)

c) \(\int f (x)dx = \int x \sqrt[4]{{1 – {x^2}}}dx.\)

Đặt \(u = 1 – {x^2}\) thì \(du = – 2xdx.\)

Nên \(\int f (x)dx\) \( = – \frac{1}{2}\int {\sqrt[4]{u}du} \) \( = – \frac{1}{2}\int {{u^{\frac{1}{4}}}} du\) \( = – \frac{2}{5}{u^{\frac{5}{4}}} + C\) \( = – \frac{2}{5}\sqrt {{{\left( {1 – {x^2}} \right)}^{\frac{5}{4}}}} + C.\)

d) \(\int f (x)dx\) \( = \int {\frac{1}{{\sqrt x {{(1 + \sqrt x )}^2}}}dx} .\)

Đặt \(u = 1 + \sqrt x \) thì \(du = – \frac{1}{{2\sqrt x }}dx.\)

Nên \(\int f (x)dx\) \( = 2\int {\frac{{du}}{{{u^2}}}} \) \( = 2\int {{u^{ – 2}}} du\) \( = – 2{u^{ – 1}} + C\) \( = \frac{{ – 2}}{{1 + \sqrt x }} + C.\)

Bài 6. Sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

• a) \(f(x) = x\sin \frac{x}{2}.\)
• b) \(f(x) = {x^2}\cos x.\)
• c) \(f(x) = x.{e^x}.\)
• d) \(f(x) = {x^3}\ln (2x).\)

Lời giải:

a) \(\int x \sin \frac{x}{2}dx.\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = x}\\ {dv = \sin \frac{x}{2}dx} \end{array}} \right.\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {du = dx}\\ {v = – 2\cos \frac{x}{2}} \end{array}} \right..\)

Cho nên: \(\int x \sin \frac{x}{2}dx\) \( = – 2x\cos \frac{x}{2} + \int 2 \cos \frac{x}{2}dx.\)

\( = – 2x\cos \frac{x}{2} + 4\sin \frac{x}{2} + C.\)

b) \(\int {{x^2}} \cos xdx.\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} = u}\\ {dv = \cos xdx} \end{array}} \right.\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {du = 2xdx}\\ {v = \sin x} \end{array}} \right..\)

Cho nên: \(\int {{x^2}} \cos xdx\) \( = {x^2}\sin x – 2\int x \sin xdx.\)

Lại đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_1} = x}\\ {d{v_1} = \sin xdx} \end{array}} \right.\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {d{u_1} = dx}\\ {{v_1} = – \cos x} \end{array}} \right..\)

Cho nên: \(\int {{x^2}} \cos xdx\) \( = {x^2}\sin x\) \( – 2\left[ { – x\cos x + \int {\cos xdx} } \right].\)

\( = {x^2}\sin x + 2x\cos x – 2\sin x + C.\)

c) \(\int {x{e^x}} dx.\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = x}\\ {dv = {e^x}dx} \end{array}} \right.\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {du = dx}\\ {v = {e^x}} \end{array}} \right..\)

Cho nên: \(\int {x{e^x}} dx\) \( = x{e^x} – \int {{e^x}} dx\) \( = x{e^x} – {e^x} + C.\)

d) \(\int {{x^3}} \ln (2x)dx.\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \ln (2x)}\\ {dv = {x^3}dx} \end{array}} \right.\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {du = \frac{1}{x}dx}\\ {v = \frac{{{x^4}}}{4}} \end{array}} \right..\)

Cho nên: \(\int {{x^3}} \ln (2x)dx\) \( = \frac{{{x^4}}}{4}\ln (2x) – \int {\frac{{{x^4}}}{4}} .\frac{{dx}}{x}\) \( = \frac{{{x^4}}}{4}\ln (2x) – \frac{{{x^4}}}{{16}} + C.\)

LUYỆN TẬP

Bài 7. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

• a) \(f(x) = 3x\sqrt {7 – 3{x^2}} .\)
• b) \(f(x) = \cos (3x + 4).\)
• c) \(f(x) = \frac{1}{{{{\cos }^2}(3x + 2)}}.\)
• d) \(f(x) = {\sin ^5}\frac{x}{3}\cos \frac{x}{3}.\)

Lời giải:

a) Xét \(I = \int 3 x\sqrt {7 – 3{x^2}} dx.\)

Đặt \(t = \sqrt {7 – 3{x^2}} \) \( \Rightarrow {t^2} = 7 – 3{x^2}\) \( \Rightarrow tdt = – 3xdx\) \( \Leftrightarrow 3xdx = – tdt.\)

Suy ra: \(I = – \int t .tdt = – \frac{{{t^3}}}{3} + C.\)

Vậy \(I = \int 3 x\sqrt {7 – 3{x^2}} dx\) \( = – \frac{{\sqrt {{{\left( {7 – 3{x^2}} \right)}^3}} }}{3} + C.\)

b) Xét \(J = \int {\cos } (3x + 4)dx.\)

Đặt \(t = 3x + 4\) \( \Rightarrow dx = \frac{1}{3}dt.\) Suy ra: \(J = \frac{1}{3}\int {\cos t} dt\) \( = \frac{1}{3}\sin t + C.\)

Vậy nguyên hàm của hàm \(f(x) = \cos (3x + 4)\) là \(F(x) = \frac{1}{3}\sin (3x + 4) + C.\)

c) Xét \(K = \int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}(3x + 2)}}} .\)

Đặt \(t = 3x + 2\) \( \Rightarrow dx = \frac{1}{3}dt.\) Suy ra: \(K = \frac{1}{3}\int {\frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}} \) \( = \frac{1}{3}\tan t + C.\)

Vậy \(\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}(3x + 2)}}} \) \( = \frac{1}{3}\tan (3x + 2) + C.\)

d) Xét \(L = \int {{{\sin }^5}} \frac{x}{3}\cos \frac{x}{3}dx\) \( = \int {{{\left( {1 – {{\cos }^2}\frac{x}{3}} \right)}^2}} \cos \frac{x}{3}.\sin \frac{x}{3}dx.\)

Đặt \(t = \cos \frac{x}{3}\) \( \Rightarrow dt = – \frac{1}{3}\sin \frac{x}{3}dx\) \( \Rightarrow \sin \frac{x}{3}dx = – 3dt.\)

Suy ra: \(L = \int {{{\left( {1 – {t^2}} \right)}^2}} t.( – 3dt)\) \( = – 3\int {\left( {{t^5} – 2{t^3} + t} \right)dt} \) \( = – \frac{1}{3}{t^6} – \frac{1}{2}{t^4} + \frac{{{t^2}}}{2} + C.\)

Vậy nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {\sin ^5}\frac{x}{3}\cos \frac{x}{3}\) là:

\(F(x) = – \frac{1}{3}{\cos ^6}\frac{x}{3} – \frac{1}{2}{\cos ^4}\frac{x}{3} + \frac{1}{2}{\cos ^2}\frac{x}{3} + C.\)

Bài 8. Tìm nguyên hàm của các hàm số:

• a) \(f(x) = {x^2}{\left( {\frac{{{x^3}}}{{18}} – 1} \right)^5}.\)
• b) \(f(x) = \frac{1}{{{x^2}}}.\sin \frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}.\)
• c) \(f(x) = {x^3}{e^x}.\)
• d) \(f(x) = {e^{\sqrt {3x – 9} }}.\)

Lời giải:

a) Xét \(I = \int {{x^2}} {\left( {\frac{{{x^3}}}{{18}} – 1} \right)^5}dx.\)

Đặt \(t = \frac{{{x^3}}}{{18}} – 1\) \( \Rightarrow dt = \frac{1}{6}{x^2}dx\) \( \Leftrightarrow {x^2}dx = 6dt.\)

Suy ra \(I = \int {{t^5}} .6dt = {t^6} + C.\)

Vậy \(I = \int {{x^2}} {\left( {\frac{{{x^3}}}{{18}} – 1} \right)^5}dx\) \( = {\left( {\frac{{{x^3}}}{{18}} – 1} \right)^6} + C.\)

b) Xét \(J = \int {\frac{1}{{{x^2}}}} .\sin \frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}dx\) \( = \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{{x^2}}}} .\sin \frac{2}{x}dx.\)

Đặt \(t = \frac{2}{x}\) \( \Rightarrow dt = – \frac{2}{{{x^2}}}dx\) \( \Leftrightarrow \frac{{dx}}{{{x^2}}} = – \frac{1}{2}dt.\)

Suy ra \(J = – \frac{1}{4}\int {\sin tdt} \) \( = \frac{1}{4}\cos t + C.\)

Vậy nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{{x^2}}}.\sin \frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}\) là \(F(x) = \frac{1}{4}\cos \frac{2}{x} + C.\)

c) Xét \(L = \int {{x^3}} .{e^x}dx.\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = {x^3}}\\ {dv = {e^x}dx} \end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {du = 3{x^2}dx}\\ {v = {e^x}} \end{array}} \right..\)

Suy ra \(L = {x^3}.{e^x} – 3\int {{x^2}} .{e^x}dx.\)

Tương tự như trên. Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_1} = {x^2}}\\ {d{v_1} = {e^x}dx} \end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {d{u_1} = 2xdx}\\ {{e^x} = {v_1}} \end{array}} \right..\)

\( \Rightarrow L = {x^3}.{e^x} – 3\left( {{x^2}.{e^x}} \right) + 6\int {x{e^x}} dx\) \( = {x^3}.{e^x} – 3{x^2}.{e^x} + 6x.{e^x} – 6{e^x} + C.\)

\( = {e^x}\left( {{x^3} – 3{x^2} + 6x – 6} \right) + C.\)

d) Xét \(K = \int {{e^{\sqrt {3x – 9} }}} dx.\)

Đặt \(t = \sqrt {3x – 9} \) \( \Rightarrow {t^2} = 3x – 9\) \( \Rightarrow 2tdt = 3dx\) \( \Rightarrow K = \frac{2}{3}\int t .{e^t}dt.\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = t}\\ {dv = {e^t}dt} \end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {du = dt}\\ {v = {e^t}} \end{array}} \right..\)

Suy ra \(K = \frac{2}{3}t.{e^t} – \frac{2}{3}\int {{e^t}} dt\) \( = \frac{2}{3}t.{e^t} – \frac{2}{3}{e^t} + C.\)

Vậy nguyên hàm của \(f(x) = {e^{\sqrt {3x – 9} }}\) là \(F(x) = \frac{2}{3}\sqrt {3x – 9} .{e^{\sqrt {3x – 9} }}\) \( – \frac{2}{3}{e^{\sqrt {3x – 9} }} + C.\)

Bài 9. Tìm nguyên hàm của các hàm số:

• a) \(f(x) = {x^2}\cos 2x.\)
• b) \(f(x) = \sqrt x .\ln x.\)
• c) \(f(x) = {\sin ^4}x.\cos x.\)
• d) \(f(x) = x\cos \left( {{x^2}} \right).\)

Lời giải:

a) Xét \(T = \int {{x^2}} \cos 2xdx.\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = {x^2}}\\ {dv = \cos 2xdx} \end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {dv = 2xdx}\\ {v = \frac{1}{2}\sin 2x} \end{array}} \right..\)

Suy ra: \(I = {x^2}\frac{1}{2}\sin x – \int x .\sin 2xdx\) \( = \frac{{{x^2}\sin 2x}}{2} – \int x .\sin 2xdx.\)

Tính \({I_1} = \int x .\sin 2xdx.\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_1} = x}\\ {d{v_1} = \sin 2xdx} \end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {d{u_1} = dx}\\ {{v_1} = – \frac{1}{2}\cos 2x} \end{array}} \right..\)

\( \Rightarrow {I_1} = – \frac{1}{2}x\cos 2x + \frac{1}{2}\int {\cos 2xdx} \) \( = – \frac{1}{2}x\cos 2x + \frac{1}{2}.\frac{1}{2}\sin 2x + C.\)

Vậy \(\int {{x^2}} .\cos 2xdx\) \( = \frac{{{x^2}.\sin 2x}}{2} – \frac{1}{2}x\cos 2x\) \( + \frac{1}{4}\sin 2x + C.\)

b) Xét \(J = \int {\sqrt x } \ln xdx.\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \ln x}\\ {dv = \sqrt x dx} \end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {du = \frac{1}{x}dx}\\ {v = \frac{2}{3}.{x^{\frac{3}{2}}}} \end{array}} \right..\)

Suy ra: \(J = \frac{2}{3}.{x^{\frac{3}{2}}}.\ln x – \frac{2}{3}\int {\frac{1}{x}} (x\sqrt x )dx\) \( = \frac{2}{3}x\sqrt x \ln x – \frac{2}{3}\int {\sqrt x } dx.\)

\( = \frac{2}{3}x\sqrt x \ln x – \frac{2}{3}\int {{x^{\frac{1}{2}}}} dx\) \( = \frac{2}{3}x\sqrt x \ln x – \frac{2}{3}\frac{{x\sqrt x }}{{\frac{3}{2}}} + C.\)

\( = \frac{2}{3}x\sqrt x {\left( {\ln x – \frac{2}{3}} \right)^2} + C.\)

c) Xét \(L = \int {{{\sin }^4}} x.\cos xdx.\)

Đặt \(t = \sin x\) \( \Rightarrow dt = \cos xdx.\)

Suy ra: \(L = \int {{t^4}} dt = \frac{{{t^5}}}{5} + C.\)

Vậy \(L = \int {{{\sin }^4}} x\cos xdx\) \( = \frac{{{{\sin }^5}x}}{5} + C.\)

d) Xét \(K = \int x \cos \left( {{x^2}} \right)dx.\)

Đặt \(t = {x^2}\) \( \Rightarrow dt = 2xdx\) \( \Leftrightarrow xdx = \frac{{dt}}{2}.\)

Suy ra: \(K = \frac{1}{2}\int {\cos tdt} \) \( = \frac{1}{2}\sin t + C.\)

Vậy \(K = \int x \cos \left( {{x^2}} \right)dx\) \( = \frac{1}{2}\sin {x^2} + C.\)

Ưu điểm:

• Tính chi tiết: Các bài giải được trình bày một cách cẩn thận, từng bước một, giúp người học dễ dàng theo dõi và hiểu rõ quy trình giải.
• Đa dạng phương pháp: Bài viết bao gồm nhiều phương pháp tìm nguyên hàm như đổi biến số và tích phân từng phần, giúp học sinh làm quen và áp dụng linh hoạt các kỹ thuật khác nhau.
• Bao quát: Nội dung bao gồm cả phần câu hỏi trong sách giáo khoa và phần luyện tập, đảm bảo tính đầy đủ và giúp người học ôn tập toàn diện.