giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài viết này cung cấp hướng dẫn giải chi tiết các bài tập trong phần "Câu hỏi và Bài tập" và "Luyện tập" của sách giáo khoa Giải tích 12 Nâng cao, chương "Hàm số mũ và hàm số lôgarit". Mục tiêu là giúp học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán liên quan đến hàm số mũ và lôgarit.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 47. (Ứng dụng thực tế của hàm số mũ) Khoảng 200 năm trước, Clô-zi-ut và Cla-pay-rông đã mô tả áp lực hơi nước bằng công thức \(P = a \times {10^{\frac{k}{{t + 273}}}}\), trong đó \(P\) là áp lực (mmHg), \(t\) là nhiệt độ (°C), và \(a\), \(k\) là hằng số (\(k \approx – 2258,624\)).

• a) Tìm \(a\) khi \(t = {100^0}C\) và \(P = 760mmHg\).
• b) Tính \(P\) khi \(t = {40^0}C\).

Lời giải:

• a) Thay số vào công thức, ta có \(760 = a \times {10^{\frac{{ – 2258,624}}{{100 + 273}}}}\), từ đó suy ra \(a = \frac{{760}}{{{{10}^{\frac{{ – 2258,624}}{{373}}}}}} \approx 863188840,3\).
• b) Với \(a\) vừa tìm và \(t = {40^0}C\), ta có \(P = 863188840,{3.10^{\frac{{ – 2258,624}}{{303}}}} \approx 52,5mmHg\).

Nhận xét: Bài toán này rất hay khi đưa ra một ứng dụng thực tế của hàm số mũ. Việc giải quyết bài toán đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ công thức và biết cách sử dụng máy tính để tính toán.

Bài 48. (Tính giới hạn) Tìm các giới hạn sau:

• a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^2} – {e^{3x + 2}}}}{x}\).
• b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{2x}} – {e^{5x}}}}{x}\).

Lời giải:

• a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^2} – {e^{3x + 2}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^2}\left( {1 – {e^{3x}}} \right)}}{x} = – {e^2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3\left( {{e^{3x}} – 1} \right)}}{{3x}} = – 3{e^2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{3x}} – 1}}{{3x}} = – 3{e^2}\).
• b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{2x}} – {e^{5x}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{2x}}}}{x} – \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{5x}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{e^{2x}}}}{{2x}} – \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{5{e^{5x}}}}{{5x}} = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{2x}}}}{{2x}} – 5\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{5x}}}}{{5x}} = 2 – 5 = – 3\).

Nhận xét: Bài tập này rèn luyện kỹ năng tính giới hạn của hàm số mũ, đòi hỏi sự linh hoạt trong việc biến đổi và áp dụng các quy tắc giới hạn.

Bài 49. (Tính đạo hàm) Tính đạo hàm của các hàm số:

• a) \(y = (x – 1){e^{2x}}\).
• b) \(y = {x^2}\sqrt {{e^{4x}} + 1} \).
• c) \(y = \frac{1}{2}\left( {{e^x} – {e^{ – x}}} \right)\).
• d) \(y = \frac{1}{2}\left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right)\).

Lời giải:

• a) \(y’ = {e^{2x}}(2x – 1)\).
• b) \(y' = \frac{{\left( {x + {x^2}} \right){e^{4x}} + x}}{{\sqrt {{e^{4x}} + 1} }}\).
• c) \(y’ = \frac{1}{2}\left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right)\).
• d) \(y’ = \frac{1}{2}\left( {{e^x} – {e^{ – x}}} \right)\).

Nhận xét: Đây là các bài tập cơ bản về tính đạo hàm của hàm số mũ. Học sinh cần nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản và quy tắc tính đạo hàm của tích, thương và hàm hợp.

Bài 50. (Tính đồng biến nghịch biến) Xác định tính đồng biến, nghịch biến trên \(R\) của các hàm số:

• a) \(y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}\).
• b) \(y = {\left( {\frac{3}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}} \right)^x}\).

Lời giải:

• a) Hàm số \(y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}\) đồng biến trên \(R\) vì \(\frac{\pi }{3} /> 1\).
• b) Hàm số \(y = {\left( {\frac{3}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}} \right)^x}\) nghịch biến trên \(R\) vì \(\frac{3}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} < 1\).

Nhận xét: Bài tập giúp củng cố kiến thức về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ dựa vào cơ số.

Bài 51. (Vẽ đồ thị) Vẽ đồ thị các hàm số:

• a) \(y = {(\sqrt 2 )^x}\).
• b) \(y = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}\).

Lời giải:

• a) Hàm số \(y = {(\sqrt 2 )^x}\) đồng biến trên \(R\). Đồ thị đi qua điểm \((0;1)\) và \((1;\sqrt{2})\). (Hình vẽ minh họa).
• b) Hàm số \(y = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}\) nghịch biến trên \(R\). Đồ thị đi qua điểm \((0;1)\) và \((1;\frac{2}{3})\). (Hình vẽ minh họa).

Nhận xét: Bài tập này yêu cầu học sinh vẽ đồ thị hàm số mũ. Để vẽ chính xác, cần xác định tính đồng biến/nghịch biến và tìm một vài điểm đặc biệt.

Bài 52. (Ứng dụng thực tế của hàm số logarit) Tính độ lớn âm thanh (dB) dựa vào công thức \(L = 10\log \frac{I}{{{I_0}}}\) với các tỉ số \(\frac{I}{{{I_0}}}\) cho trước.

Lời giải:

• Ngưỡng nghe: \(L = 0dB\).
• Nhạc dịu êm: \(L = 36dB\).
• Nhạc mạnh: \(L = 88dB\).
• Máy bay phản lực: \(L = 124dB\).
• Ngưỡng đau tai: \(L = 130dB\).

Nhận xét: Bài toán liên hệ kiến thức hàm logarit với thực tế, cụ thể là đo độ lớn âm thanh. Nó giúp học sinh thấy được ứng dụng của toán học trong cuộc sống.

Bài 53. (Tính giới hạn) Tìm các giới hạn sau:

• a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + 3x)}}{x}\).
• b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + {x^2}} \right)}}{x}\).

Lời giải:

• a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + 3x)}}{x} = 3\).
• b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + {x^2}} \right)}}{x} = 0\).

Nhận xét: Bài tập yêu cầu tính giới hạn của hàm logarit, cần áp dụng các quy tắc và công thức giới hạn đặc biệt.

Bài 54. (Tính đạo hàm) Tính đạo hàm của các hàm số:

• a) \(y = (3x – 2){\ln ^2}x\).
• b) \(y = \sqrt {{x^2} + 1} \ln {x^2}\).
• c) \(y = x.\ln \frac{1}{{1 + x}}\).
• d) \(y = \frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}{x}\).

Lời giải:

• a) \(y’ = 3{\ln ^2}x + \frac{{2(3x – 2)}}{x}\ln x\).
• b) \(y' = \frac{{x\ln {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + \frac{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}{{{x^2}}}\).
• c) \(y’ = \ln \frac{1}{{1 + x}} – \frac{x}{{1 + x}}\).
• d) \(y’ = \frac{{2x\ln \left( {{x^2} + 1} \right).x – \ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2}}} = \frac{{\frac{2x^2}{x^2+1}x-\ln(x^2+1)}}{x^2}\).

Nhận xét: Bài tập này tương tự bài 49 nhưng áp dụng cho hàm logarit, đòi hỏi kỹ năng tính đạo hàm phức tạp hơn.

Bài 55. (Tính đồng biến, nghịch biến) Xác định tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số trên tập xác định:

• a) \(y = {\log _{\frac{2}{c}}}x\).
• b) \(y = {\log _a}x\) với \(a = \frac{1}{{3(\sqrt 3 – \sqrt 2 )}}\).

Lời giải:

• a) Hàm số \(y = {\log _{\frac{2}{c}}}x\) đồng biến khi \(0 < c < 2\) và nghịch biến khi \(c > 2\).
• b) Hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến trên \((0; + \infty )\) vì \(a = \frac{1}{{3(\sqrt 3 – \sqrt 2 )}} > 1\).

Nhận xét: Bài tập này kiểm tra khả năng xác định tính đồng biến/nghịch biến của hàm logarit dựa vào cơ số, chú ý điều kiện của cơ số.

Bài 56. (Vẽ đồ thị) Vẽ đồ thị các hàm số:

• a) \(y = {\log _{\sqrt 2 }}x\).
• b) \(y = {\log _{\frac{2}{3}}}x\).

Lời giải:

• a) Hàm số \(y = {\log _{\sqrt 2 }}x\) đồng biến trên \((0; + \infty )\). Đồ thị đi qua \((1;0)\) và \((\sqrt{2}; 1)\). (Hình vẽ minh họa).
• b) Hàm số \(y = {\log _{\frac{2}{3}}}x\) nghịch biến trên \((0; + \infty )\). Đồ thị đi qua \((1;0)\) và \((\frac{2}{3}; 1)\). (Hình vẽ minh họa).

Nhận xét: Tương tự bài 51, bài này yêu cầu vẽ đồ thị hàm logarit. Cần xác định tính đồng biến/nghịch biến và các điểm đặc biệt để vẽ chính xác.

Ưu điểm chung của các bài giải:

• Trình bày rõ ràng, chi tiết từng bước giải.
• Giải thích cặn kẽ các công thức và quy tắc áp dụng.
• Đưa ra nhận xét sau mỗi bài, giúp học sinh hiểu sâu hơn về bản chất của bài toán và các kiến thức liên quan.
• Bao quát các dạng bài tập cơ bản và nâng cao về hàm số mũ và logarit.