THCS
THCS
Bài viết này cung cấp hướng dẫn chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, chương Hàm số lũy thừa, bao gồm cả phần "Câu hỏi và Bài tập" và phần "Luyện tập". Điểm nổi bật của bài viết là trình bày lời giải một cách rõ ràng, từng bước, giúp học sinh dễ dàng theo dõi và nắm bắt phương pháp giải.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 57. Trên hình 2.10 cho hai đường cong \(\left( {{C_1}} \right)\) (đường nét liền) và \(\left( {{C_2}} \right)\) (đường nét đứt) được vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Biết rằng mỗi đường cong ấy là đồ thị của một trong hai hàm số lũy thừa \(y = {x^{ – 2}}\) và \(y = {x^{ – \frac{1}{2}}}\) \((x /> 0).\) Chỉ dựa vào tính chất của lũy thừa, em có thể nhận biết đường cong nào là đồ thị của hàm số nào được không? Hãy nêu rõ lập luận của em.
Lời giải:
Nếu \(x /> 1\) thì \({x^{ – 2}} < {x^{ – \frac{1}{2}}}.\)
Nếu \(0 < x < 1\) thì \({x^{ – 2}} < {x^{ – \frac{1}{2}}}.\)
Vậy đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\) là đồ thị của hàm số \(y = {x^{ – 2}}\), \(\left( {{C_2}} \right)\) là đồ thị của hàm số \(y = {x^{ – \frac{1}{2}}}.\)
Nhận xét: Bài giải sử dụng tính chất so sánh của lũy thừa để xác định đồ thị, cách giải trực quan và dễ hiểu.
Bài 58. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = {(2x + 1)^\pi }.\)
b) \(y = \sqrt[5]{{{{\ln }^3}5x}}.\)
c) \(y = \sqrt[3]{{\frac{{1 + {x^3}}}{{1 – {x^3}}}}}.\)
d) \(y = {\left( {\frac{x}{b}} \right)^a}.{\left( {\frac{a}{x}} \right)^b}\) với \(a /> 0\), \(b /> 0.\)
Lời giải:
a) \(y’ = \pi {(2x + 1)^{\pi – 1}}.(2x + 1)’\) \( = 2\pi {(2x + 1)^{\pi – 1}}.\)
b) \(y’ = \frac{{\left( {{{\ln }^3}5x} \right)’}}{{5\sqrt[5]{{{{\left( {{{\ln }^3}(5x)} \right)}^4}}}}}\) \( = \frac{{3{{\ln }^2}5x}}{{5x\sqrt[5]{{{{\ln }^{12}}5x}}}}\) \( = \frac{3}{{5x\sqrt[5]{{{{\ln }^2}5x}}}}.\)
c) Đặt \(u = \frac{{1 + {x^3}}}{{1 – {x^3}}}.\) Khi đó \(y’ = \frac{{u’}}{{3\sqrt[3]{{{u^2}}}}}\) và \(u’ = \frac{{6{x^2}}}{{{{\left( {1 – {x^3}} \right)}^2}}}.\)
Vậy \(y’ = \frac{{u’\sqrt[3]{u}}}{{3u}}\) \( = \frac{{2{x^2}}}{{1 – {x^6}}}\sqrt[3]{{\frac{{1 + {x^3}}}{{1 – {x^3}}}}}.\)
d) \(y’ = \left[ {{{\left( {\frac{x}{b}} \right)}^a}} \right]'{\left[ {\frac{a}{x}} \right]^b} + {\left( {\frac{x}{b}} \right)^a}\left[ {{{\left( {\frac{a}{x}} \right)}^b}} \right]’\) \( = \frac{a}{b}{\left( {\frac{x}{b}} \right)^{a – 1}}{\left( {\frac{a}{x}} \right)^b} + {\left( {\frac{x}{b}} \right)^a} + b{\left( {\frac{a}{x}} \right)^{b – 1}}\left( { – \frac{a}{{{x^2}}}} \right)\) \( = {\left( {\frac{x}{b}} \right)^a}{\left( {\frac{a}{x}} \right)^b}\frac{{a – b}}{x}.\)
Nhận xét: Bài giải trình bày chi tiết các bước tính đạo hàm, sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp một cách thành thạo. Đặc biệt, ở câu c, việc đặt ẩn phụ giúp đơn giản hóa biểu thức và dễ dàng tính toán hơn. Câu d thể hiện khả năng biến đổi và áp dụng công thức một cách linh hoạt.
LUYỆN TẬP
Bài 59. Tính giá trị gần đúng đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm đã cho (chính xác đến hàng phần trăm).
a) \(y = {\log _3}(\sin x)\) tại \(x = \frac{\pi }{4}.\)
b) \(y = \frac{{{2^x}}}{{{x^2}}}\) tại \(x = 1.\)
Lời giải:
a) \(y’ = \frac{{(\sin x)’}}{{\sin x.\ln 3}}\) \( = \frac{{\cos x}}{{\sin x\ln 3}} = \frac{{\cot x}}{{\ln 3}}\) \( \Rightarrow y’\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\ln 3}} \approx 0,91.\)
b) \(y’ = \frac{{{2^x}\ln 2.{x^2} – {2^x}.2x}}{{{x^4}}}\) \( = \frac{{{2^x}(x\ln 2 – 2)}}{{{x^3}}}\) \( \Rightarrow y'(1) = \frac{{2(\ln 2 – 2)}}{1} \approx – 2,61.\)
Nhận xét: Bài giải áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lượng giác và hàm số mũ một cách chính xác, đồng thời biết cách sử dụng máy tính để tính giá trị gần đúng.
Bài 60.
a) Chứng minh rằng đồ thị hai hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\left( {\frac{1}{a}} \right)^x}\) đối xứng với nhau qua trục tung.
b) Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số \(y = {\log _a}x\) và \(y = {\log _{\frac{1}{a}}}x\) đối xứng với nhau qua trục hoành.
Lời giải:
a) Gọi \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) lần lượt là đồ thị của các hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\left( {\frac{1}{a}} \right)^x}\), \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là một điểm bất kỳ. Khi đó điểm đối xứng với \(M\) qua trục tung là \(M’\left( { – {x_0};{y_0}} \right).\)
Ta có: \(M \in \left( {{C_1}} \right)\) \( \Leftrightarrow {y_0} = {a^{{x_0}}}\) \( \Leftrightarrow {y_0} = {\left( {\frac{1}{a}} \right)^{ – {x_0}}}\) \( \Leftrightarrow M’ \in \left( {{C_2}} \right).\)
Điều đó chứng tỏ \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) đối xứng với nhau qua trục tung.
b) Chứng minh tương tự bài a, chú ý điểm đối xứng với \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) qua trục hoành là điểm \(M’\left( {{x_0}; – {y_0}} \right).\)
\(M \in \left( {{C_1}} \right)\) \( \Leftrightarrow {y_0} = {\log _a}{x_0}\) \( \Leftrightarrow {y_0} = – {\log _{\frac{1}{a}}}{x_0}\) \( \Leftrightarrow – {y_0} = {\log _{\frac{1}{a}}}{x_0}\) \( \Leftrightarrow M’ \in \left( {{C_2}} \right).\)
Nhận xét: Bài giải sử dụng phương pháp chứng minh hình học bằng cách xét điểm đối xứng, chứng minh rõ ràng và chặt chẽ.
Bài 61. Vẽ đồ thị của hàm số \(y = {\log _{0,5}}x.\) Dựa vào đồ thị hãy giải các bất phương trình sau:
a) \({\log _{0,5}}x /> 0.\)
b) \( – 3 \le {\log _{0,5}}x < – 1.\)
Lời giải:
Đồ thị hàm số là hình vẽ bên.
a) \({\log _{0,5}}x /> 0\) (là những điểm nằm ở phía trên trục hoành).
\({\log _{0,5}}x /> 0\) \( \Leftrightarrow 0 < x < 1.\)
b) \( – 3 \le {\log _{0,5}}x < – 1\) (\(y = {\log _{0,5}}x\) là những điểm trên đồ thị có tung độ thuộc nửa khoảng \([ – 3;1)\)).
\( \Rightarrow – 3 \le {\log _{0,5}}x < – 1\) \( \Leftrightarrow 2 < x \le 8.\)
Nhận xét: Bài giải kết hợp giữa đồ thị hàm số và phép giải bất phương trình, giúp học sinh hiểu rõ mối liên hệ giữa đại số và hình học.
Bài 62. Vẽ đồ thị hàm số \(y = {(\sqrt 3 )^x}.\) Dựa vào đồ thị, hãy giải các bất phương trinh sau:
a) \({(\sqrt 3 )^x} \le 1.\)
b) \({(\sqrt 3 )^x} /> 3.\)
Lời giải:
Đồ thị hàm số \(y = {(\sqrt 3 )^x}\) có hình vẽ bên.
a) \({(\sqrt 3 )^x} \le 1\) (Tung độ \(y = {(\sqrt 3 )^x}\) không lớn hơn \(1\)).
\( \Rightarrow {(\sqrt 3 )^x} \le 1 \Leftrightarrow x \le 0.\)
b) \({(\sqrt 3 )^x} /> 3\) (Tung độ \(y = {(\sqrt 3 )^x}\) lớn hơn \(3\)).
Ưu điểm chung:
Bài viết là một tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh lớp 12 trong quá trình học tập và ôn luyện môn Giải tích.
