THCS
THCS
Chúng tôi xin giới thiệu đến bạn bài viết chi tiết hướng dẫn giải các bài tập trong phần "Câu hỏi và bài tập" và "Luyện tập" của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, chuyên đề Lôgarit. Bài viết này không chỉ cung cấp đáp án mà còn đi sâu vào phân tích, giải thích cặn kẽ các bước giải, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 23. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
a) Cơ số của lôgarit là một số thực bất kỳ.
b) Cơ số của lôgarit phải là số nguyên.
c) Cơ số của lôgarit phải là số nguyên dương.
d) Cơ số của lôgarit phải là số nguyên dương khác \(1.\)
Lời giải:
Câu d. Vì theo định nghĩa của lôgarit.
Nhận xét: Bài tập này kiểm tra kiến thức cơ bản về định nghĩa cơ số của lôgarit. Lời giải ngắn gọn, chính xác.
Bài 24. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
a) Có lôgarit của một số thực bất kỳ.
b) Chỉ có lôgarit của một số thực dương.
c) Chỉ có lôgarit của một số thực dương khác \(1.\)
d) Chỉ có lôgarit của một số thực lớn hơn \(1.\)
Lời giải:
a) Sai.
b) Đúng.
c) Sai.
d) Sai.
Nhận xét: Bài tập này giúp học sinh hiểu rõ hơn về điều kiện tồn tại của lôgarit. Lời giải trực tiếp, dễ hiểu.
Bài 25. Điền thêm vế còn lại của đẳng thức và bổ sung điều kiện để có đẳng thức đúng:
a) \({\log _a}(xy) = \ldots .\)
b) \( \ldots = {\log _a}x – {\log _a}y.\)
c) \({\log _a}{x^\alpha } = \ldots .\)
d) \({a^{{{\log }_a}b}} = \ldots .\)
Lời giải:
a) \({\log _a}(xy) = {\log _a}x + {\log _a}y\) \((a /> 0;a \ne 1;x,y /> 0).\)
b) \({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x – {\log _a}y\) \((a /> 0;a \ne 1;x,y /> 0).\)
c) \({\log _a}{x^\alpha } = \alpha {\log _a}x\) \((a /> 0;a \ne 1;x /> 0;\alpha \in R).\)
d) \({a^{{{\log }_a}b}} = b\) \((a /> 0;a \ne 1;b /> 0).\)
Nhận xét: Bài tập này củng cố các công thức cơ bản của lôgarit và điều kiện áp dụng. Lời giải đầy đủ, chi tiết.
Bài 26. Trong mỗi mệnh đề sau, hãy tìm điều kiện của \(a\) để có mệnh đề đúng:
a) \({\log _a}x < {\log _a}y\) \( \Leftrightarrow 0 < x < y.\)
b) \({\log _a}x < {\log _a}y\) \( \Leftrightarrow x /> y /> 0.\)
Lời giải:
a) \(a /> 1.\)
b) \(0 <a<1.\)
Nhận xét: Bài tập này liên quan đến tính đơn điệu của hàm lôgarit. Lời giải chính xác, súc tích.
Bài 27. Hãy tìm lôgarit của mỗi số sau theo cơ số \(3:\)
\(81\); \(1\); \(\frac{1}{9}\); \(\sqrt[3]{3}\); \(\frac{1}{{\sqrt[3]{3}}}.\)
Lời giải:
\({\log _3}3 = 1.\)
\({\log _3}81 = {\log _3}{3^4} = 4{\log _3}3 = 4.\)
\({\log _3}1 = 0.\)
\({\log _3}\frac{1}{9} = {\log _3}{3^{ – 2}} = – 2.\)
\({\log _3}\sqrt[3]{3} = {\log _3}{3^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{3}.\)
\({\log _3}\frac{1}{{\sqrt[3]{3}}} = {\log _3}{3^{ – \frac{1}{3}}} = – \frac{1}{3}.\)
Nhận xét: Bài tập này giúp học sinh làm quen với việc tính lôgarit của các số cụ thể. Lời giải rõ ràng, dễ theo dõi.
Bài 28. Tính: \({\log _{\frac{1}{5}}}125\); \({\log _{0,5}}\frac{1}{2}\); \({\log _{\frac{1}{4}}}\frac{1}{{64}}\); \({\log _{\frac{1}{6}}}36.\)
Lời giải:
\({\log _{\frac{1}{5}}}125 = {\log _{\frac{1}{5}}}{5^3} = {\log _{{5^{ – 1}}}}{5^3}\) \( = 3( – 1){\log _5}5 = – 3.\)
\({\log _{0,5}}\frac{1}{2} = {\log _{0,5}}0,5 = 1.\)
\({\log _{\frac{1}{4}}}\frac{1}{{64}} = {\log _{\frac{1}{4}}}{\left( {\frac{1}{4}} \right)^3} = 3.\)
\({\log _{\frac{1}{6}}}36 = {\log _{6 – 1}}{6^2}\) \( = 2.( – 1) = – 2.\)
Nhận xét: Bài tập này rèn luyện kỹ năng biến đổi và tính toán lôgarit với cơ số khác nhau. Lời giải trình bày chi tiết các bước biến đổi.
Bài 29. Tính \({3^{{{\log }_3}18}}\); \({3^{5{{\log }_3}2}}\); \({\left( {\frac{1}{8}} \right)^{{{\log }_2}5}}\); \({\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{{{\log }_{0,5}}2}}.\)
Lời giải:
\({3^{{{\log }_3}18}} = 18.\)
\({3^{5{{\log }_3}2}} = {3^{{{\log }_3}{2^5}}}\) \( = {2^5} = 32.\)
\({\left( {\frac{1}{8}} \right)^{{{\log }_2}5}} = {\left( {{2^{ – 3}}} \right)^{{{\log }_2}5}}\) \( = {2^{ – 3{{\log }_2}5}} = {2^{{{\log }_2}{5^{ – 3}}}}\) \( = {5^{ – 3}} = \frac{1}{{125}}.\)
\({\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{{{\log }_{0,5}}2}} = {\left( {{2^{ – 5}}} \right)^{{{\log }_{0,5}}2}}\) \( = {2^{ – 5{{\log }_{{2^{ – 1}}}}2}} = {2^{{{\log }_2}{2^5}}}\) \( = {2^5} = 32.\)
Nhận xét: Bài tập này kết hợp lũy thừa và lôgarit, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các công thức biến đổi. Lời giải đầy đủ, dễ hiểu.
Bài 30. Tìm \(x\), biết:
a) \({\log _5}x = 4.\)
b) \({\log _2}(5 – x) = 3.\)
c) \({\log _3}(x + 2) = 3.\)
d) \({\log _{\frac{1}{6}}}(0,5 + x) = – 1.\)
Lời giải:
a) \({\log _5}x = 4 \Leftrightarrow x = {5^4}.\)
b) \({\log _2}(5 – x) = 3\) \( \Leftrightarrow 5 – x = {2^3}\) \( \Leftrightarrow x = 5 – {2^3} = – 3.\)
c) \({\log _3}(x + 2) = 3\) \( \Leftrightarrow x + 2 = {3^3}\) \( \Leftrightarrow x = {3^3} – 2 = 7.\)
d) \({\log _{\frac{1}{6}}}(0,5 + x) = – 1\) \( \Leftrightarrow 0,5 + x = {\left( {\frac{1}{6}} \right)^{ – 1}}\) \( \Leftrightarrow x = 6 – 0,5 = \frac{{11}}{2}.\)
Nhận xét: Bài tập này giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải phương trình lôgarit cơ bản. Lời giải ngắn gọn, chính xác.
Bài 31. Biểu thị lôgarit sau đây theo lôgarit thập phân (rồi cho kết quả bằng máy tính, làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai):
\({\log _7}25\); \({\log _5}8\); \({\log _9}0,75\); \({\log _{0,75}}1,13.\)
Lời giải:
\({\log _7}25 = \frac{{\log 25}}{{\log 7}} = 1,65.\)
\({\log _9}0,75 = \frac{{\lg 0,75}}{{\lg 9}} = – 0,13.\)
\({\log _5}8 = \frac{{\log 8}}{{\log 5}} = 1,29.\)
\({\log _{0,75}}1,13 = \frac{{\log 1,13}}{{\log 0,75}} = – 0,43.\)
Nhận xét: Bài tập này giúp học sinh làm quen với việc sử dụng máy tính để tính lôgarit và ứng dụng công thức đổi cơ số. Lời giải rõ ràng, dễ thực hiện.
LUYỆN TẬP
Bài 32. Hãy tính:
a) \({\log _8}12 – {\log _8}15 + {\log _8}20.\)
b) \(\frac{1}{2}{\log _7}36 – {\log _7}14 – 3{\log _7}\sqrt[3]{{21}}.\)
c) \(\frac{{{{\log }_5}36 – {{\log }_5}12}}{{{{\log }_5}9}}.\)
d) \({36^{{{\log }_6}5}} + {10^{1 – \log 2}} – {8^{{{\log }_2}3}}.\)
Lời giải:
a) \({\log _8}\frac{{12}}{{15}} + {\log _8}20\) \( = {\log _8}\frac{{12}}{{15}}.20 = {\log _8}16\) \( = {\log _{{2^3}}}{2^4} = \frac{4}{3}.\)
b) \({\log _7}{36^{\frac{1}{2}}} – {\log _7}14 – {\log _7}{(\sqrt[3]{{21}})^3}\) \( = {\log _7}\frac{6}{{14}} – {\log _7}21\) \( = {\log _7}\frac{6}{{14.21}}\) \( = {\log _7}\frac{1}{{49}} = – 2.\)
c) \(\frac{{{{\log }_5}\frac{{36}}{{12}}}}{{{{\log }_5}9}} = \frac{{{{\log }_5}3}}{{{{\log }_5}9}}\) \( = {\log _9}3 = {\log _{{3^2}}}3 = \frac{1}{2}.\)
d) \({6^{2{{\log }_6}5}} + {10^{\log 10 – \log 2}} – {2^{3{{\log }_2}3}}\) \( = {5^2} + {10^{\log 5}} – {3^3}\) \( = 25 + 5 – 27 = 3.\)
Nhận xét: Bài tập này tổng hợp nhiều công thức và kỹ năng tính toán lôgarit. Lời giải chi tiết, dễ hiểu.
Bài 33. Hãy so sánh:
a) \({\log _3}4\) và \({\log _4}\frac{1}{3}.\)
b) \({3^{{{\log }_6}1,1}}\) và \({7^{{{\log }_6}0,99}}.\)
Lời giải:
a) Ta có:
\({\log _3}4 /> {\log _3}3 = 1.\)
\({\log _4}\frac{1}{3} < {\log _4}4 = 1.\)
Vậy \({\log _3}4 /> {\log _4}\frac{1}{3}.\)
b) Ta có:
\({\log _6}1,1 /> {\log _6}1 = 0\) \( \Leftrightarrow {3^{{{\log }_6}1,1}} /> {3^0} = 1.\)
\({\log _6}0,99 < {\log _6}1 = 0\) \( \Leftrightarrow {7^{{{\log }_6}0,99}} < {7^0} = 1.\)
Vậy \({3^{{{\log }_6}1,1}} /> {7^{{{\log }_6}0,99}}.\)
Nhận xét: Bài tập này rèn luyện kỹ năng so sánh các biểu thức lôgarit. Lời giải sử dụng phương pháp so sánh trung gian.
Bài 34. Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh:
a) \(\log 2 + \log 3\) với \(\log 5.\)
b) \(\log 12 – \log 5\) với \(\log 7.\)
c) \(3\log 2 + \log 3\) với \(2\log 5.\)
d) \(1 + 2\log 3\) với \(\log 27.\)
Lời giải:
a) Ta có \(\log 2 + \log 3 = \log 6 /> \log 5.\)
b) \(\log 12 – \log 5 = \log \frac{{12}}{5} < \log 7.\)
c) \(3\log 2 + \log 3\) \( = \log {2^3} + \log 3\) \( = \log 8.3 = \log 24\) \( < \log {5^2} = 2\log 5.\)
d) \(1 + 2\log 3\) \( = \log 10 + \log {3^2}\) \( = \log (10.9) = \log 90\) \( /> \log 27.\)
Nhận xét: Bài tập này yêu cầu học sinh so sánh lôgarit mà không sử dụng công cụ hỗ trợ, đòi hỏi khả năng ước lượng và biến đổi linh hoạt.
Bài 35. Trong mỗi trường hợp sau, hãy tính \({\log _a}x\), biết \({\log _a}b = 3\), \({\log _a}c = – 2.\)
a) \(x = {a^3}{b^2}\sqrt c .\)
b) \(x = \frac{{{a^4}\sqrt[3]{b}}}{{{c^3}}}.\)
Lời giải:
a) \({\log _a}x\) \( = {\log _a}\left( {{a^3}{b^2}\sqrt c } \right){\log _a}{a^3}\) \( + {\log _a}{b^2} + {\log _a}\sqrt c .\)
\( = 3{\log _a}a + 2{\log _a}b + \frac{1}{2}{\log _a}c\) \( = 3 + 2.3 + \frac{1}{2}.( – 2) = 8.\)
b) \({\log _a}x = {\log _a}\left( {\frac{{{a^4}\sqrt[3]{b}}}{{{c^3}}}} \right)\) \( = {\log _a}\left( {{a^4}\sqrt[3]{b}} \right) – {\log _a}{c^3}.\)
\( = {\log _a}{a^4} + {\log _a}\sqrt[3]{b} – {\log _a}{c^3}\) \( = 4{\log _a}a + \frac{1}{3}{\log _a}b – 3{\log _a}c.\)
\( = 4 + \frac{1}{3}.3 – 3.( – 2) = 11.\)
Nhận xét: Bài tập này giúp học sinh rèn luyện kỹ năng biến đổi và tính toán lôgarit với các biểu thức phức tạp. Lời giải chi tiết, dễ hiểu.
Bài 36. Trong mỗi trường hợp sau, hãy tìm \(x.\)
a) \({\log _3}x = 4{\log _3}a + 7{\log _3}b.\)
b) \({\log _5}x = 2{\log _5}a – 3{\log _5}b.\)
Lời giải:
a) \({\log _3}x = {\log _3}{a^4} + {\log _3}{b^7}\) \( \Leftrightarrow {\log _3}x = {\log _3}{a^4}{b^7}\) \( \Leftrightarrow x = {a^4}{b^7}.\)
b) \({\log _5}x = {\log _5}{a^2} – {\log _5}{b^3}\) \( \Leftrightarrow {\log _5}x = {\log _5}\frac{{{a^2}}}{{{b^3}}}\) \( \Leftrightarrow x = \frac{{{a^2}}}{{{b^3}}}.\)
Nhận xét: Bài tập này củng cố kỹ năng giải phương trình lôgarit và biến đổi biểu thức. Lời giải ngắn gọn, chính xác.
Bài 37. Hãy biểu diễn lôgarit sau qua \(\alpha \) và \(\beta .\)
a) \({\log _{\sqrt 3 }}50\) nếu \({\log _3}15 = \alpha \), \({\log _3}10 = \beta .\)
b) \({\log _4}1250\) nếu \({\log _2}5 = \alpha .\)
Lời giải:
a) Từ \({\log _3}15 = \alpha \) \( \Leftrightarrow {\log _3}(3.5) = \alpha \) \( \Leftrightarrow 1 + {\log _3}5 = \alpha \) \( \Leftrightarrow {\log _3}5 = \alpha – 1.\)
\({\log _{\sqrt 3 }}50 = 3{\log _3}50\) \( = 3\left( {{{\log }_3}5 + {{\log }_3}10} \right)\) \( = 3(\alpha – 1 + \beta ).\)
b) Ta có:
\({\log _4}1250 = \frac{1}{2}{\log _2}{5^3}.10\) \( = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_2}{5^3} + {{\log }_2}2 + {{\log }_2}5} \right)\) \( = \frac{1}{2}\left( {3{{\log }_2}5 + 1 + {{\log }_2}5} \right).\)
\( = \frac{1}{2}\left( {4{{\log }_2}5 + 1} \right)\) \( = \frac{1}{2}(4\alpha + 1).\)
Nhận xét: Bài tập này yêu cầu học sinh biểu diễn một biểu thức lôgarit theo các biến khác. Lời giải chi tiết, dễ hiểu.
Bài 38. Đơn giản biểu thức:
a) \(\log \frac{1}{8} + \frac{1}{2}\log 4 + 4\log \sqrt 2 .\)
b) \(\log \frac{4}{9} + \frac{1}{2}\log 36 + \frac{3}{2}\log \frac{9}{2}.\)
c) \(\log 72 – 2\log \frac{{27}}{{256}} + \log \sqrt {108} .\)
d) \(\log \frac{1}{8} – \log 0,375 + \frac{3}{2}\log \frac{9}{2}.\)
Lời giải:
a) \(\log \frac{1}{8} + \log 2 + \log 4\) \( = \log \frac{1}{8}.2.4 = \log 1 = 0.\)
b) \(\log \frac{4}{9} + \log 6 + \log \frac{9}{2}\sqrt {\frac{9}{2}} \) \( = \log \frac{4}{9}.6.\frac{9}{2}.\sqrt {\frac{9}{2}} \) \( = \log 2.6.\frac{3}{{\sqrt 2 }}\) \( = \log 18\sqrt 2 .\)
c) \(\log 72 – 2\log \frac{{27}}{{256}} + \log \sqrt {108} \) \( = \log {2^3}{.3^2} – 2\log \frac{{{3^3}}}{{{2^8}}} + \log {\left( {{2^2}{{.3}^3}} \right)^{\frac{1}{2}}}.\)
\( = 3\log 2 + 2\log 3\) \( – 2(3\log 3 – 8\log 2)\) \( + \log 2 + \frac{3}{2}\log 3\) \( = 20\log 2 – \frac{5}{2}\log 3.\)
d) \(\log \frac{1}{8} – \log 0,375 + 2\log \sqrt {0,5625} \) \( = \log \frac{1}{8} – \log \frac{3}{8} + \log 0,5625.\)
\( = \log \frac{1}{8} – \log \frac{3}{8} + \log \frac{9}{{16}}\) \( = \log \frac{1}{8}.\frac{8}{3}.\frac{9}{{16}} = \log \frac{3}{{16}}.\)
Nhận xét: Bài tập này rèn luyện kỹ năng đơn giản biểu thức lôgarit bằng cách sử dụng các công thức và tính chất của lôgarit.
Bài 39. Tìm \(x\), biết:
a) \({\log _x}27 = 3.\)
b) \({\log _x}\frac{1}{7} = – 1.\)
c) \({\log _x}\sqrt 5 = – 4.\)
Lời giải:
a) \({\log _x}27 = 3\) \( \Leftrightarrow 27 = {x^3}\) \( \Leftrightarrow {3^3} = {x^3}\) \( \Leftrightarrow x = 3.\)
b) \({\log _x}\frac{1}{7} = – 1\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{7} = {x^{ – 1}}\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{7} = \frac{1}{x}\) \( \Rightarrow x = 7.\)
c) \({\log _x}\sqrt 5 = – 4\) \( \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_{\sqrt 5 }}\sqrt 5 }}{{{{\log }_{\sqrt 5 }}x}} = – 4\) \( \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 5 }}x = – \frac{1}{4}\) \( \Leftrightarrow x = {(\sqrt 5 )^{ – \frac{1}{4}}}.\)
Nhận xét: Bài tập này giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải phương trình lôgarit với ẩn ở cơ số.
Bài 40. Số nguyên tố dạng \({M_p} = {2^p} – 1\), trong đó \(p\) là một số nguyên tố được gọi là số nguyên tố Mec – sen (Mersenne Marin, 1588 – 1648, người Pháp). Ở-le phát hiện \({M_{31}}\) năm 1750. Luy – Ca (Lucas Edouard, 1842 – 1891, người Pháp) phát hiện \({M_{127}}\) năm 1876. \({M_{1398269}}\) được phát hiện năm 1996. Hỏi rằng nếu viết ba số đó trong hệ thập phân thì mỗi số có bao nhiêu chữ số.
Lời giải:
Ta có: \(\log \left( {{2^p} – 1} \right) = a.\)
Để tính số chữ số của \({2^p} – 1\) thì ta tính số chữ số của \({2^p}.\)
Khi viết trong hệ thập phân người ta lấy giá trị gần đúng của \(\log 2\) là \(0,3010.\)
Suy ra:
Số chữ số của \({M_{31}}\) là \([31.\log 2] + 1\) \( = [31.0,3010] + 1 = 10.\)
Số chữ số của \({M_{127}}\) là \([127.\log 2] + 1\) \( = [127.0,3010] + 1 = 39.\)
Số chữ số của \({M_{1398269}}\) là \([1398269.\log 2] + 1\) \( = [1398269.0,3010] + 1\) \( = 420921.\)
Nhận xét: Bài tập này ứng dụng lôgarit vào một bài toán thực tế, liên quan đến số nguyên tố Mersenne. Lời giải trình bày rõ cách tính số chữ số của một số.
Bài 41. Một người gửi \(15\) triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kỳ hạn \(1\) quý với lãi suất \(1,65\% \) một quý. Hỏi sau bao lâu người đó có ít nhất \(20\) triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu.
Lời giải:
Áp dụng công thức lãi kép ta có: \(C = A{(1 + r)^N}.\)
Trong đó \(A = 15\), \(r = 1,65\% \), \(C \ge 20.\)
\( \Rightarrow 15{(1 + 1,65\% )^N} \ge 20\) \( \Rightarrow {(1 + 1,65\% )^N} \ge \frac{4}{3}.\)
\( \Rightarrow N \ge {\log _{(1 + 0,0165)}}\frac{4}{3}.\)
Vậy ít nhất \(4\) năm \(3\) quý.
Nhận xét: Bài tập này ứng dụng lôgarit vào bài toán tài chính, tính thời gian để đạt được mục tiêu tiền gửi tiết kiệm. Lời giải sử dụng công thức lãi kép và lôgarit để giải quyết bài toán.
