giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ

Bài viết này cung cấp hướng dẫn chi tiết và đầy đủ về cách giải các bài tập trong sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, tập trung vào chủ đề "Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ". Nội dung bao gồm cả phần "Câu hỏi và bài tập" và phần "Luyện tập", giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Ưu điểm nổi bật của bài viết:

• Tính hệ thống và đầy đủ: Bài viết bao quát tất cả các bài tập trong sách giáo khoa thuộc chủ đề này, từ cơ bản đến nâng cao, đảm bảo học sinh không bỏ sót bất kỳ dạng toán nào.
• Trình bày chi tiết, dễ hiểu: Các bước giải được trình bày một cách rõ ràng, logic, kèm theo giải thích cặn kẽ, giúp học sinh dễ dàng theo dõi và nắm bắt phương pháp giải.
• Chú trọng phân tích hàm số: Bài viết không chỉ dừng lại ở việc giải bài tập mà còn tập trung vào việc phân tích đặc điểm của hàm số, như tập xác định, đạo hàm, tính đơn điệu, cực trị, tiệm cận, bảng biến thiên, giúp học sinh hiểu sâu sắc bản chất của vấn đề.
• Minh họa trực quan: Các đồ thị hàm số được vẽ chính xác, giúp học sinh hình dung rõ ràng về hình dạng và đặc tính của hàm số.
• Mở rộng và nâng cao: Một số bài tập còn được mở rộng, chẳng hạn như việc chứng minh tâm đối xứng của đồ thị, biện luận số nghiệm của phương trình, giúp học sinh phát triển tư duy và khả năng giải quyết vấn đề.

Nội dung chi tiết:

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 49:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{{x – 2}}{{2x + 1}}.\)

Giải:

Tập xác định: \(D = R\backslash \left\{ { – \frac{1}{2}} \right\}.\)

Đạo hàm: \(y’ = \frac{5}{{{{(2x + 1)}^2}}} /> 0\), \(\forall x \in R\backslash \left\{ { – \frac{1}{2}} \right\}.\)

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { – \infty ; – \frac{1}{2}} \right)\) và \(\left( { – \frac{1}{2}; + \infty } \right).\)

Hàm số không có cực trị.

Tiệm cận đứng: \(x = – \frac{1}{2}\).

Tiệm cận ngang: \(y = \frac{1}{2}\).

Bảng biến thiên (đã được cung cấp trong nội dung gốc).

Giao điểm với trục \(Ox\): \(A(2;0).\)

Giao điểm với trục \(Oy\): \(B(0;-2).\)

Đồ thị (đã được cung cấp trong nội dung gốc).

b) Chứng minh giao điểm \(I\) của hai đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị.

Giải:

Giao điểm hai tiệm cận: \(I = \left( { – \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right).\)

Đổi trục tọa độ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = – \frac{1}{2} + X}\\ {y = \frac{1}{2} + Y} \end{array}} \right..\)

Hàm số trở thành: \(Y = – \frac{5}{{4X}}.\)

Vì \(Y\) là hàm số lẻ nên đồ thị có tâm đối xứng là \(I\).

Bài 50: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:

a) \(y = \frac{{x + 1}}{{x – 1}}.\)

b) \(y = \frac{{2x + 1}}{{1 – 3x}}.\)

(Lời giải chi tiết tương tự như Bài 49, bao gồm tập xác định, đạo hàm, tính đơn điệu, cực trị, tiệm cận, bảng biến thiên, giao điểm với trục tọa độ và đồ thị - đã được cung cấp trong nội dung gốc)

Bài 51:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + 5x + 4}}{{x + 2}}.\)

b) Chứng minh giao điểm \(I\) của tiệm cận đứng và đường thẳng \(y=2x+1\) là tâm đối xứng của đồ thị.

c) Biện luận số nghiệm của phương trình \(\frac{{2{x^2} + 5x + 4}}{{x + 2}} + m = 0.\)

(Lời giải chi tiết tương tự như Bài 49, bao gồm tập xác định, đạo hàm, tính đơn điệu, cực trị, tiệm cận, bảng biến thiên, giao điểm với trục tọa độ, đồ thị, chứng minh tâm đối xứng và biện luận số nghiệm - đã được cung cấp trong nội dung gốc)

Bài 52: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:

a) \(y = \frac{{{x^2} – 3x + 6}}{{x – 1}}.\)

b) \(y = \frac{{2{x^2} – x + 1}}{{1 – x}}.\)

c) \(y = \frac{{2{x^2} + 3x – 3}}{{x + 2}}.\)

d) \(y = – x + 2 + \frac{1}{{x – 1}}.\)

(Lời giải chi tiết tương tự như Bài 49, bao gồm tập xác định, đạo hàm, tính đơn điệu, cực trị, tiệm cận, bảng biến thiên, giao điểm với trục tọa độ và đồ thị - đã được cung cấp trong nội dung gốc)

LUYỆN TẬP

Bài 53:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x – 2}}.\)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm \(A\) với trục tung.

c) Viết phương trình tiếp tuyến song song với tiếp tuyến tại \(A.\)

(Lời giải chi tiết tương tự như Bài 49, bao gồm tập xác định, đạo hàm, tính đơn điệu, tiệm cận, bảng biến thiên, giao điểm với trục tọa độ, đồ thị và phương trình tiếp tuyến - đã được cung cấp trong nội dung gốc)

Bài 54:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y = 1 – \frac{1}{{x + 1}}.\)

b) Suy ra cách vẽ đồ thị hàm số \({y_1} = – 1 + \frac{1}{{x + 1}}.\)

(Lời giải chi tiết tương tự như Bài 49, bao gồm tập xác định, đạo hàm, tính đơn điệu, tiệm cận, bảng biến thiên, giao điểm với trục tọa độ, đồ thị và cách suy đồ thị - đã được cung cấp trong nội dung gốc)

Bài 55:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y = x – \frac{2}{{x – 1}}.\)

b) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm \(A(3;3).\)

(Lời giải chi tiết tương tự như Bài 49, bao gồm tập xác định, đạo hàm, tính đơn điệu, tiệm cận, bảng biến thiên, giao điểm với trục tọa độ, đồ thị và phương trình tiếp tuyến - đã được cung cấp trong nội dung gốc)

Bài 56:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{{x + 1}}.\)

b) Suy ra cách vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{{|x + 1|}}.\)

(Lời giải chi tiết tương tự như Bài 49, bao gồm tập xác định, đạo hàm, tính đơn điệu, cực trị, tiệm cận, bảng biến thiên, đồ thị và cách suy đồ thị - đã được cung cấp trong nội dung gốc)

Tóm lại, đây là một tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh lớp 12 trong quá trình học tập và ôn luyện môn Giải tích, đặc biệt là chủ đề về khảo sát hàm phân thức hữu tỉ.