Bài viết này cung cấp hướng dẫn chi tiết và toàn diện về cách giải các bài tập trong phần "Câu hỏi và Bài tập" và phần "Luyện tập" của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, tập trung vào chủ đề "Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức". Nội dung được trình bày một cách hệ thống, rõ ràng, từng bước một, giúp học sinh dễ dàng tiếp cận và nắm vững kiến thức.
Ưu điểm nổi bật của tài liệu:
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 40.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} – 4\).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn.
c) Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị.
Lời giải:
a) Tập xác định: \(R\).
\(y’ = 3{x^2} + 6x\) \( = 3x(x + 2) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {x = – 2} \end{array}} \right..\)
\(y’ > 0\) trên khoảng \(( – \infty ; – 2) \cup (0; + \infty ).\)
\(y’ < 0\) trên khoảng \(( – 2;0).\)
\({y_{CĐ}} = y( – 2) = 0\), \({y_{CT}} = y(0) = – 4.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty .\)
\(y” = 6x + 6\) \( = 6(x + 1) = 0\) \( \Leftrightarrow x = – 1.\)
Bảng xét dấu \(y”\):
[Hình ảnh bảng xét dấu y'']
Hàm số lồi trên khoảng \(( – \infty ; – 1).\)
Hàm số lõm trên khoảng \(( – 1; + \infty ).\)
Hàm số có một điểm uốn \(u( – 1; – 2).\)
Bảng biến thiên:
[Hình ảnh bảng biến thiên]
Đồ thị: Đi qua điểm \((1;0)\) và \((-3;-4).\)
[Hình ảnh đồ thị]
b) Hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} – 4\) có điểm uốn là \(u( – 1; – 2).\)
Ta có \(y’ = 3{x^2} + 6x\), \(y'( – 1) = – 3.\)
Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn \(u( – 1; – 2)\) có dạng:
\(y – {y_0} = y’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right).\)
\( \Leftrightarrow y + 2 = – 3(x + 1).\)
\( \Leftrightarrow y = – 3x – 5.\)
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn là: \(y = – 3x – 5.\)
c) Cách 1: Đồ thị nhận \(I( – 1; – 2)\) làm tâm đối xứng khi và chỉ khi:
\(f\left( {{x_0} + x} \right) + f\left( {{x_0} – x} \right) = 2{y_0}\) với mọi \(x.\)
\( \Leftrightarrow f(x – 1) + f( – x – 1) = – 4\), \(\forall x.\)
\( \Leftrightarrow {(x – 1)^3}\) \( + 3{(x – 1)^2} – 4\) \( + {( – 1 – x)^3}\) \( + 3{( – 1 – x)^2} – 4 = – 4\), \(\forall x.\)
\( \Leftrightarrow {x^3} – 3{x^2} + 3x – 1\) \( + 3{x^2} – 6x + 3 – 5\) \( – 3x – 3{x^2} – {x^3} + 3\) \( + 6x + 3{x^2} – 4 = – 4\), \(\forall x.\)
\( \Leftrightarrow – 4 = – 4\), \(\forall x.\)
\( \Rightarrow I( – 1; – 2)\) là tâm đối xứng của đồ thị.
Cách 2: Gọi \(I( – 1; – 2)\) là tọa độ điểm uốn, tịnh tiến \(\overrightarrow {OI} \) giữa các tọa độ cũ.
Theo công thức đổi trục tọa độ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = – 1 + X}\\ {y = – 2 + Y} \end{array}} \right.\) phương trình trở thành \(Y = {X^3} – 3X.\)
Đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối, suy ra điều phải chứng minh.
Bài 41.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = – {x^3} + 3{x^2} – 1\).
b) Tùy theo các giá trị của \(m\) hãy biện luận số nghiệm của phương trình \( – {x^3} + 3{x^2} – 1 = m.\)
...
Đánh giá chung:
Tài liệu này là một nguồn tài liệu hữu ích cho học sinh lớp 12 trong việc học tập và ôn luyện môn Giải tích, đặc biệt là chủ đề khảo sát hàm số. Tuy nhiên, để tăng tính tương tác và hiệu quả học tập, có thể bổ sung thêm các câu hỏi trắc nghiệm, bài tập tự luyện và các ví dụ thực tế liên quan đến ứng dụng của khảo sát hàm số.
LUYỆN TẬP
Bài 45.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: \(y = {x^3} – 3{x^2} + 1\).
b) Tùy theo các giá trị của \(m\) hãy biện luận số nghiệm của phương trình \({x^3} – 3{x^2} + m + 2 = 0.\)
...