THCS
THCS
Chúng tôi xin giới thiệu đến bạn đọc tài liệu hướng dẫn giải chi tiết các bài tập trong chương "Lũy thừa với số mũ thực" của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao. Tài liệu này bao gồm phần "Câu hỏi và bài tập" và phần "Luyện tập", cung cấp lời giải cặn kẽ, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 12. Xét mệnh đề: “Với các số thực \(x\), \(a\), \(b\), nếu \(0 < a < b\) thì \({a^x} < {b^x}\)”. Với điều kiện nào sau đây của \(x\) thì mệnh đề đó đúng?
(A) \(x\) bất kỳ.
(B) \(x /> 0.\)
(C) \(x < 0.\)
Lời giải:
Điều kiện (B). Vì theo tính chất của lũy thừa với số mũ thực.
Nhận xét: Bài tập này tập trung vào việc kiểm tra kiến thức về tính chất của lũy thừa với số mũ thực khi so sánh các lũy thừa có cơ số khác nhau. Lời giải ngắn gọn, trực tiếp, phù hợp với yêu cầu trắc nghiệm.
Bài 13. Xét mệnh đề: “Với các số thực \(a\), \(x\), \(y\) nếu \(x < y\) thì \({a^x} < {a^y}\)”. Với điều kiện nào sau đây của \(a\) thì mệnh đề đó đúng.
(A) \(a\) bất kỳ.
(B) \(a /> 0.\)
(C) \(a /> 1.\)
Lời giải:
Điều kiện (C). Vì theo tính chất của lũy thừa với số mũ thực.
Nhận xét: Tương tự bài 12, bài này kiểm tra sự hiểu biết về tính chất của lũy thừa khi so sánh các lũy thừa có cùng cơ số nhưng số mũ khác nhau. Lời giải súc tích, nhấn mạnh vào điều kiện cần thiết của cơ số.
Bài 14. Cho các số thực \(a\), \(x\), \(y\) với \(x < y.\) Hãy tìm điều kiện của \(a\) để \({a^x} /> {a^y}.\)
Lời giải:
Theo tính chất lũy thừa với số mũ thực thì điều kiện của \(a\) là: \(0 < a < 1.\)
Nhận xét: Bài tập này đảo ngược yêu cầu so với bài 13, đòi hỏi học sinh phải nắm vững tính chất nghịch biến của hàm số lũy thừa khi cơ số nằm trong khoảng (0, 1).
Bài 15. Tính các biểu thức:
\({\left( {0,{5^{\sqrt 2 }}} \right)^{\sqrt 8 }}.\)
\({2^{2 – 3\sqrt 5 }}{.8^{\sqrt 5 }}.\)
\({3^{1 + 2\sqrt[3]{2}}}:{9^{\sqrt[3]{2}}}.\)
Lời giải:
\({\left( {0,{5^{\sqrt 2 }}} \right)^{\sqrt 8 }} = {\left( {0,{5^{{2^{\frac{1}{2}}}}}} \right)^{\frac{1}{{{8^2}}}}}\) \( = 0,{5^{{2^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}}} = 0,{5^{{2^2}}}\) \( = {(0,5)^4} = \frac{1}{{16}}.\)
\({2^{2 – 3\sqrt 5 }}{.8^{\sqrt 5 }} = {2^{2 – 3\sqrt 5 }}{.2^{3\sqrt 5 }}\) \( = {2^2} = 4.\)
\({3^{1 + 2\sqrt[3]{2}}}:{9^{\sqrt[3]{2}}}\) \( = {3^{1 + 2\sqrt[3]{2}}}:{3^{2\sqrt[3]{2}}} = 3.\)
Nhận xét: Đây là các bài tập cơ bản về tính toán lũy thừa, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng biến đổi và đơn giản biểu thức. Lời giải chi tiết, từng bước rõ ràng, dễ theo dõi.
Bài 16. Đơn giản biểu thức: \(P = \frac{{{{\left( {{a^{\sqrt 3 – 1}}} \right)}^{\sqrt 3 + 1}}}}{{{a^{\sqrt 5 – 3}}.{a^{4 – \sqrt 5 }}}}\), \(Q = {a^{\sqrt 2 }}.{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 – 1}}.\)
Lời giải:
Ta có \(P = \frac{{{a^{(\sqrt 3 – 1)(\sqrt 3 + 1)}}}}{{{a^{(\sqrt 5 – 3) + (4 – \sqrt 5 )}}}}\) \( = \frac{{{a^{3 – 1}}}}{{{a^1}}} = a.\)
\(Q = {a^{\sqrt 2 }}.{a^{1 – \sqrt 2 }}\) \( = {a^{\sqrt 2 + 1 – \sqrt 2 }} = a.\)
Nhận xét: Bài tập này yêu cầu kỹ năng biến đổi lũy thừa phức tạp hơn, đòi hỏi học sinh phải áp dụng thành thạo các công thức về lũy thừa. Lời giải ngắn gọn, hiệu quả.
Bài 17. Một người gửi \(15\) triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn \(1\) năm với lãi suất \(7,56\% \) một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi số tiền người đó thu được (cả vốn lẫn lãi) sau \(5\) năm là bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Lời giải:
Áp dụng công thức lãi kép \(C = A{(1 + r)^N}.\)
Trong đó \(A = 15\), \(r = 7,56\% \), \(N = 5\) \( \Rightarrow C = 15{(1 + 7,56\% )^5}\) \( = 15.1,{0756^5} \approx 21,59\) triệu đồng.
Nhận xét: Bài toán ứng dụng thực tế về lãi kép, giúp học sinh thấy được ứng dụng của lũy thừa trong đời sống. Lời giải rõ ràng, áp dụng đúng công thức.
LUYỆN TẬP
Bài 18. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số với số mũ hữu tỉ:
a) \(\sqrt[4]{{{x^2}\sqrt[3]{x}}}\) \((x /> 0).\)
b) \(\sqrt[5]{{\frac{b}{a}\sqrt[3]{{\frac{a}{b}}}}}\) \((a /> 0,b /> 0).\)
c) \(\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt {\frac{2}{3}} }}}}.\)
d) \(\sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\) \((a /> 0).\)
Lời giải:
a) \(\sqrt[4]{{{x^2}\sqrt[3]{x}}} = \sqrt[4]{{{x^2}{x^{\frac{1}{3}}}}}\) \( = \sqrt[4]{{{x^{\frac{7}{3}}}}} = {\left( {{x^{\frac{7}{3}}}} \right)^{\frac{1}{4}}} = {x^{\frac{7}{{12}}}}.\)
b) \(\sqrt[5]{{\frac{b}{a}\sqrt[3]{{\frac{a}{b}}}}} = \sqrt[5]{{\frac{b}{a}{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}}\) \( = \sqrt[5]{{{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^{ – 1}}{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}} = \sqrt[5]{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{ – \frac{2}{3}}}}}\) \( = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^{ – \frac{2}{{15}}}}.\)
c) \(\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt {\frac{2}{3}\sqrt {\frac{2}{3}} } }} = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{1}{2}}}}}}}\) \( = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}}} = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{1}{2}}}}}\) \( = \sqrt[3]{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{2}}}.\)
d) \(\sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\) \( = \sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a.{a^{\frac{1}{2}}}} } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\) \( = \sqrt {a\sqrt {a\sqrt {{a^{\frac{3}{2}}}} } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\) \( = \sqrt {a\sqrt {a.{a^{\frac{3}{4}}}} } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}.\)
\( = \sqrt {a\sqrt {{a^{\frac{7}{4}}}} } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\) \( = \sqrt {a.{a^{\frac{7}{8}}}} :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\) \( = \sqrt {{a^{\frac{{15}}{8}}}} :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\) \( = {a^{\frac{{15}}{{16}}}}:{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\) \( = {a^{\frac{4}{{16}}}} = {a^{\frac{1}{4}}}.\)
Nhận xét: Các bài tập này tập trung vào việc biến đổi căn thức về lũy thừa với số mũ hữu tỉ, đòi hỏi sự cẩn thận và chính xác trong từng bước biến đổi. Lời giải chi tiết, trình bày rõ ràng các bước thực hiện.
Bài 19. Đơn giản biểu thức:
a) \({a^{ – 2\sqrt 2 }}{\left( {\frac{1}{{{a^{ – \sqrt 2 – 1}}}}} \right)^{\sqrt 2 + 1}}.\)
b) \({\left( {\frac{{{a^{\sqrt 3 }}}}{{{b^{\sqrt 3 – 1}}}}} \right)^{\sqrt 3 + 1}}.\frac{{{a^{ – 1 – \sqrt 3 }}}}{{{b^{ – 2}}}}.\)
c) \(\frac{{{a^{2\sqrt 2 }} – {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1.\)
d) \(\sqrt {{{\left( {{x^\pi } + {y^\pi }} \right)}^2} – {{\left( {{4^{\frac{1}{\pi }}}xy} \right)}^\pi }} .\)
Lời giải:
a) \({a^{ – 2\sqrt 2 }}{\left( {\frac{1}{{{a^{ – \sqrt 2 – 1}}}}} \right)^{\sqrt 2 + 1}}\) \( = {a^{ – 2\sqrt 2 }}.{\left( {{a^{\sqrt 2 + 1}}} \right)^{\sqrt 2 + 1}}\) \( = {a^{ – 2\sqrt 2 }}.{a^{3 + 2\sqrt 2 }} = {a^3}.\)
b) \({\left( {\frac{{{a^{\sqrt 3 }}}}{{{b^{\sqrt 3 – 1}}}}} \right)^{\sqrt 3 + 1}}.\frac{{{a^{ – 1 – \sqrt 3 }}}}{{{b^{ – 2}}}}\) \( = \frac{{{a^{3 + \sqrt 3 }}.{a^{ – 1 – \sqrt 3 }}}}{{{b^{{{(\sqrt 3 )}^2} – 1}}.{b^{ – 2}}}}\) \( = \frac{{{a^2}}}{{{b^{3 – 3}}}} = \frac{{{a^2}}}{{{b^0}}} = {a^2}.\)
c) \(\frac{{{a^{2\sqrt 2 }} – {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1\) \( = \frac{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}} \right)\left( {{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }}} \right)}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1\) \( = \frac{{{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }}}} + 1.\)
\( = \frac{{{a^{\sqrt 2 }} – {b^{\sqrt 3 }} + {a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }}}}\) \( = \frac{{2{a^{\sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }}}}.\)
d) \(\sqrt {{{\left( {{x^\pi } + {y^\pi }} \right)}^2} – {{\left( {{4^{\frac{1}{\pi }}}xy} \right)}^\pi }} \) \( = \sqrt {{x^{2\pi }} + 2{x^\pi }{y^\pi } + {y^{2\pi }} – 4{x^\pi }{y^\pi }} \) \( = \sqrt {{x^{2\pi }} – 2{x^\pi }{y^\pi } + {y^{2\pi }}} .\)
\( = \sqrt {{{\left( {{x^\pi } – {y^\pi }} \right)}^2}} \) \( = \left| {{x^\pi } – {y^\pi }} \right|.\)
Nhận xét: Đây là các bài tập phức tạp, đòi hỏi kỹ năng biến đổi lũy thừa và căn thức bậc cao, cũng như khả năng nhận diện và áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ. Lời giải chi tiết, đầy đủ, giúp học sinh hiểu rõ từng bước biến đổi.
Bài 20. Tìm các số thực \(\alpha \) thỏa mãn từng điều kiện sau:
a) \(\frac{1}{2}\left( {{a^\alpha } + {a^{ – \alpha }}} \right) = 1\) \((a /> 0).\)
b) \({3^{|\alpha |}} < 27.\)
Lời giải:
a) \(\frac{1}{2}\left( {{a^\alpha } + {a^{ – \alpha }}} \right) = 1\) \( \Leftrightarrow {a^\alpha } + {a^{ – \alpha }} = 2\) \( \Leftrightarrow {a^{2\alpha }} – 2{a^\alpha } + 1 = 0.\)
\( \Leftrightarrow {\left( {{a^\alpha } – 1} \right)^2} = 0\) \( \Leftrightarrow {a^\alpha } – 1 = 0\) \( \Rightarrow \alpha = 0.\)
b) \({3^{|\alpha |}} < 27\) \( \Leftrightarrow {3^{|\alpha |}} < {3^3}\) \( \Leftrightarrow |\alpha | < 3\) \( \Leftrightarrow – 3 < \alpha < 3.\)
Nhận xét: Bài tập này liên quan đến việc giải phương trình và bất phương trình mũ, đòi hỏi kỹ năng biến đổi và giải các bài toán đại số cơ bản. Lời giải ngắn gọn, rõ ràng, dễ hiểu.
Bài 21. Giải các bất phương trình sau bằng cách đặt \(t = \sqrt[4]{x}.\)
a) \(\sqrt x + \sqrt[4]{x} = 2.\)
b) \(\sqrt x – 3\sqrt[4]{x} + 2 = 0.\)
Lời giải:
a) Đặt \(t = \sqrt[4]{x}\) ta được: \({t^2} + t – 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 1}\\
{t = – 2\:\:{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right..\)
Với \(t = 1\) \( \Rightarrow t = \sqrt[4]{x}\) \( \Leftrightarrow x = 1.\)
b) Đặt \(t = \sqrt[4]{x}\) ta được \({t^2} – 3t + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 1}\\
{t = 2}
\end{array}} \right..\)
Với \(t = 1 \Leftrightarrow x = 1.\)
Với \(t = 2 \Leftrightarrow x = 8.\)
Nhận xét: Bài tập này hướng dẫn phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình chứa căn thức, một kỹ thuật quan trọng trong giải toán. Lời giải chi tiết, trình bày rõ ràng các bước thực hiện.
Bài 22. Giải các phương trình sau:
a) \({x^4} < 3.\)
b) \({x^{11}} \ge 7.\)
c) \({x^{10}} /> 2.\)
d) \({x^3} \le 5.\)
Lời giải:
a) \({x^4} < 3\) \( \Leftrightarrow – \sqrt[4]{3} < x < \sqrt[4]{3}.\)
b) \({x^{11}} \ge 7\) \( \Leftrightarrow x \ge \sqrt[{11}]{7}.\)
c) \({x^{10}} /> 2\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x /> \sqrt[{10}]{2}}\\
{x < – \sqrt[{10}]{2}}
\end{array}} \right..\)
d) \({x^3} \le 5\) \( \Leftrightarrow x \le \sqrt[3]{5}.\)
Nhận xét: Bài tập này tập trung vào việc giải bất phương trình dạng \(x^n > a\) hoặc \(x^n < a\), đòi hỏi kiến thức về căn bậc n và tính chất của lũy thừa. Lời giải ngắn gọn, chính xác.
Ưu điểm chung của tài liệu:
Tài liệu này là nguồn tham khảo hữu ích cho học sinh trong quá trình học tập và ôn luyện môn Giải tích 12. Chúc các bạn học tốt!
