giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: một số bài toán thường gặp về đồ thị

Chúng tôi xin giới thiệu đến bạn đọc tài liệu hướng dẫn giải chi tiết các bài tập trong phần "Câu hỏi và bài tập" và "Luyện tập" của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, tập trung vào chủ đề "Một số bài toán thường gặp về đồ thị". Tài liệu này được biên soạn với mục tiêu hỗ trợ học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin chinh phục các bài tập liên quan đến đồ thị hàm số.

Đánh giá chung:

• Ưu điểm: Tài liệu trình bày lời giải chi tiết, dễ hiểu, bám sát nội dung sách giáo khoa. Các bước giải được giải thích rõ ràng, giúp học sinh dễ dàng theo dõi và nắm bắt phương pháp giải. Bên cạnh đó, tài liệu còn cung cấp hình ảnh minh họa đồ thị, bảng biến thiên, bảng xét dấu trực quan, giúp học sinh hình dung rõ hơn về sự biến thiên của hàm số.

Nội dung chi tiết:

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 57.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((C)\) của hàm số: \(f(x) = 2{x^3} + 3{x^2} + 1\).

Lời giải chi tiết bao gồm các bước:

• Tìm tập xác định: \(D = R\).
• Tính đạo hàm bậc nhất: \(y’ = 6{x^2} + 6x\).
• Tìm các điểm cực trị: \(y’ = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {x = – 1} \end{array}} \right.\).
• Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến: Hàm số đồng biến trên \(( – \infty ; – 1)\) và \((0; + \infty )\), nghịch biến trên \(( – 1;0)\).
• Tính giá trị cực đại, cực tiểu: \({y_{CĐ}} = 2\) khi \(x = -1\), \({y_{CT}} = 1\) khi \(x = 0\).
• Tính giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \).
• Tính đạo hàm bậc hai và tìm điểm uốn: \(y” = 12x + 6\), \(y” = 0\) \( \Leftrightarrow x = – \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow y = \frac{3}{2}\).
• Lập bảng biến thiên.
• Vẽ đồ thị hàm số.

b) Tìm các giao điểm của đường cong \((C)\) và parabol \(g(x) = 2{x^2} + 1\) \((P).\)

Lời giải: Giải phương trình \(f(x) = g(x)\) \( \Leftrightarrow 2{x^3} + {x^2} = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_1} = 0}\\ {{x_2} = – \frac{1}{2}} \end{array}} \right.\). Suy ra giao điểm là \(A(0;1)\), \(B\left( { – \frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\).

c) Viết phương trình các tiếp tuyến của \((C)\) và \((P)\) tại các giao điểm của chúng.

Lời giải: Tính hệ số góc tiếp tuyến tại \(A\) và \(B\), sau đó viết phương trình tiếp tuyến tương ứng.

d) Xác định các khoảng trên đó \((C)\) nằm phía trên hoặc phía dưới \((P).\)

Lời giải: So sánh \(f(x)\) và \(g(x)\) để xác định khoảng.

Bài 58.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}\).

Lời giải chi tiết tương tự bài 57, bao gồm các bước khảo sát hàm số phân thức hữu tỷ.

b) Với các giá trị nào của \(m\) thì \(\left( {{d_m}} \right)\) đi qua điểm \(A(-2;2)\) và có hệ số góc \(m\) cắt đồ thị của hàm số đã cho:

• Tại hai điểm phân biệt?
• Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị?

Lời giải: Viết phương trình đường thẳng \(\left( {{d_m}} \right)\), sau đó xét phương trình hoành độ giao điểm và biện luận.

Bài 59. Chứng minh rằng các đồ thị của ba hàm số: \(f(x) = – {x^2} + 3x + 6\), \(g(x) = {x^3} – {x^2} + 4\) và \(h(x) = {x^2} + 7x + 8\) tiếp xúc với nhau tại điểm \(A(-1;2)\).

Lời giải: Tính đạo hàm của ba hàm số và chứng minh \(f'(-1) = g'(-1) = h'(-1)\).

Bài 60. Chứng minh rằng các đồ thị của hai hàm số \(f(x) = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{3x}}{2}\) và \(g(x) = \frac{{3x}}{{x + 2}}\) tiếp xúc với nhau. Xác định tiếp điểm của hai đường cong trên và viết phương trình tiếp tuyến chung của chúng tại điểm đó.

Lời giải: Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f(x) = g(x)}\\ {f'(x) = g'(x)} \end{array}} \right.\) để tìm tiếp điểm, sau đó viết phương trình tiếp tuyến chung.

Bài 61. Bài toán ứng dụng về quỹ đạo viên đạn, chứng minh tiếp xúc và tìm tọa độ tiếp điểm.

LUYỆN TẬP

Các bài tập từ 62 đến 67 tương tự, bao gồm các bài toán khảo sát hàm số, biện luận số giao điểm, tìm tập hợp điểm, và các bài toán ứng dụng thực tế.

Tóm lại, tài liệu này là một nguồn tài liệu hữu ích cho học sinh lớp 12 trong quá trình học tập và ôn luyện môn Giải tích, đặc biệt là chủ đề về đồ thị hàm số.