giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Bài viết này cung cấp hướng dẫn chi tiết giải các bài tập trong phần "Câu hỏi và bài tập" và phần "Luyện tập" của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, chủ đề "Lũy thừa với số mũ hữu tỉ". Nội dung bao gồm lời giải cụ thể cho từng bài tập, kèm theo các bước biến đổi rõ ràng, giúp học sinh dễ dàng tiếp cận và nắm vững kiến thức.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) Với số thực \(a\) và các số nguyên \(m\), \(n\), ta có: \({a^m}.{a^n} = {a^{m.n}}\), \(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m:n}}.\)

b) Với hai số thực \(a\), \(b\) cùng khác \(0\) và số nguyên \(n\), ta có \({(ab)^n} = {a^n}{b^n}\), \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^n} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}.\)

c) Với hai số thực \(a\), \(b\) thỏa mãn \(0 < a < b\) và số nguyên \(n\), ta có \({a^n} < {b^n}.\)

d) Với số thực \(a \ne 0\) và hai số nguyên \(m\), \(n\), ta có: Nếu \(m /> n\) thì \({a^m} /> {a^n}.\)

Lời giải:

• a) Sai. \({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\), \(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m – n}}.\)
• b) Đúng.
• c) Sai. Chẳng hạn \({a^0} = {b^0}.\)
• d) Sai. Chẳng hạn \({( – 1)^3} < {( – 1)^2}.\)

Bài 2. Xét khẳng định: “Với số thực \(a\) và hai số hữu tỉ \(r\), \(s\) ta có \({\left( {{a^r}} \right)^s} = {a^{r.s}}.\) Với điều kiện nào trong các điều kiện sau thì khẳng định trên là đúng?

(A) \(a\) bất kỳ.

(B) \(a \ne 0.\)

(C) \(a /> 0.\)

(D) \(a < 0.\)

Lời giải:

Điều kiện (C). Vì theo tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

Bài 3. Viết các số sau dưới dạng số nguyên hay phân số tối giản:

• \({7^{ – 1}}.14.\)
• \(\frac{4}{{{3^{ – 2}}}}.\)
• \({\left( {\frac{4}{5}} \right)^{ – 2}}.\)
• \(\frac{{{{( – 18)}^2}.5}}{{{{15}^2}.3}}.\)

Lời giải:

• \({7^{ – 1}}.14 = \frac{1}{7}.14 = \frac{{14}}{7} = 2.\)
• \(\frac{4}{{{3^{ – 2}}}} = {4.3^2} = 36.\)
• \({\left( {\frac{4}{5}} \right)^{ – 2}} = {\left( {\frac{5}{4}} \right)^2} = \frac{{25}}{{16}}.\)
• \(\frac{{{{( – 18)}^2}.5}}{{{{15}^2}.3}} = \frac{{{{18}^2}.5}}{{{{15}^2}.3}} = \frac{{12}}{5}.\)

Bài 4. Thực hiện phép tính:

a) \({81^{ – 0,75}} + {\left( {\frac{1}{{125}}} \right)^{ – \frac{1}{3}}} – {\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{ – \frac{3}{5}}}.

b) \({(0,001)^{ – \frac{1}{3}}} – {( – 2)^2}{.64^{\frac{2}{3}}} – {8^{ – 1\frac{1}{3}}} + {\left( {{9^0}} \right)^2}.

c) \({27^{\frac{2}{3}}} + {\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ – 0,75}} – {25^{0,5}}.

d) \({( – 0,5)^{ – 4}} – {625^{0,25}} – {\left( {2\frac{1}{4}} \right)^{ – 1\frac{1}{2}}} + 19{( – 3)^{ – 3}}.

Lời giải:

a) \({81^{ – 0,75}} + {\left( {\frac{1}{{125}}} \right)^{ – \frac{1}{3}}} – {\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{ – \frac{3}{5}}}\) \( = {81^{ – \frac{3}{4}}} + {(125)^{\frac{1}{3}}} – {(32)^{\frac{3}{5}}}\) \( = \frac{1}{{{{81}^{\frac{3}{4}}}}} + \sqrt[3]{{125}} – \sqrt[5]{{{{32}^3}}}.\)

\( = \frac{1}{{{{(\sqrt[4]{{81}})}^3}}} + \sqrt[3]{{125}} – {(\sqrt[5]{{32}})^3}\) \( = \frac{1}{{{3^3}}} + 5 – {2^3}\) \( = \frac{1}{{27}} – 3\) \( = – \frac{{80}}{{27}}.\)

b) \({(0,001)^{ – \frac{1}{3}}} – {( – 2)^2}{.64^{\frac{2}{3}}} – {8^{ – 1\frac{1}{3}}} + {\left( {{9^0}} \right)^2}\) \( = \frac{1}{{\sqrt[3]{{0,001}}}} – 4.{(\sqrt[3]{{64}})^2} – \frac{1}{{{{(\sqrt[3]{8})}^4}}} + 1.\)

\( = \frac{1}{{0,1}} – 4.16 – \frac{1}{{16}} + 1\) \( = \frac{{116}}{{16}}.\)

c) \({27^{\frac{2}{3}}} + {\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ – 0,75}} – {25^{0,5}}\) \( = {(\sqrt[3]{{27}})^2} + {16^{\frac{3}{4}}} – {25^{\frac{1}{2}}}\) \( = {3^2} + {2^3} – 5\) \( = 12.\)

d) \({( – 0,5)^{ – 4}} – {625^{0,25}} – {\left( {2\frac{1}{4}} \right)^{ – 1\frac{1}{2}}} + 19{( – 3)^{ – 3}}\) \( = \frac{1}{{{{( – 0,5)}^4}}} – \sqrt[4]{{625}} – {\left( {\frac{4}{9}} \right)^{\frac{3}{2}}} + 19.\frac{1}{{ – 27}}.\)

\( = 16 – 5 – \frac{8}{{27}} – \frac{{19}}{{27}}\) \( = 10.\)

Bài 5. Đơn giản biểu thức:

a) \(\frac{{{{(\sqrt[4]{{{a^3}{b^2}}})}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}}{b^6}} }}}}.\)

b) \(\frac{{{a^{\frac{1}{3}}} – {a^{\frac{7}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{3}}} – {a^{\frac{4}{3}}}}} – \frac{{{a^{ – \frac{1}{3}}} – {a^{\frac{5}{3}}}}}{{{a^{\frac{2}{3}}} + {a^{ – \frac{1}{3}}}}}.\)

Lời giải:

a) \(\frac{{{{(\sqrt[4]{{{a^3}{b^2}}})}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}}{b^6}} }}}} = \frac{{{a^3}{b^2}}}{{\sqrt[3]{{{a^6}{b^3}}}}}\) \( = \frac{{{a^3}{b^2}}}{{{a^2}b}} = ab.\)

b) \(\frac{{\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{{{a^7}}}}}{{\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{{{a^4}}}}} – \frac{{\frac{1}{{\sqrt[3]{a}}} – \sqrt[3]{{{a^5}}}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} + \frac{1}{{\sqrt[3]{a}}}}}\) \( = \frac{{\sqrt[3]{a} – {a^2}.\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{a} – a\sqrt[3]{a}}} – \frac{{1 – \sqrt[3]{{{a^6}}}}}{{\sqrt[3]{{{a^3}}} + 1}}\) \( = \frac{{\left( {1 – {a^2}} \right)\sqrt[3]{a}}}{{(1 – a)\sqrt[3]{a}}} – \frac{{1 – {a^2}}}{{a + 1}}.\)

\( = (1 + a) – (1 – a) = 2a.\)

Bài 6. So sánh các số:

a) \(\sqrt 2 \) và \(\sqrt[3]{3}.\)

b) \(\sqrt 3 + \sqrt[3]{{30}}\) và \(\sqrt[3]{{63}}.\)

c) \(\sqrt[3]{7} + \sqrt {15} \) và \(\sqrt {10} + \sqrt[3]{{28}}.\)

Lời giải:

a) Giả sử \(\sqrt 2 < \sqrt[3]{3}\) \( \Leftrightarrow {(\sqrt 2 )^3} < 3\) \( \Leftrightarrow 2\sqrt 2 < 3\) \( \Leftrightarrow 8 < 9\) đúng.

Vậy \(\sqrt 2 < \sqrt[3]{3}.\)

b) Giả sử \(\sqrt 3 + \sqrt[3]{{30}} < \sqrt[3]{{63}}\) \( \Leftrightarrow 3\sqrt 3 + 9\sqrt[3]{{30}} + 3\sqrt 3 \sqrt[3]{{{{30}^2}}} < 63 – 30.\)

\( \Leftrightarrow 3\sqrt 3 + 9\sqrt[3]{{30}} + 3\sqrt 3 \sqrt[3]{{{{30}^2}}} < 33\) \((*).\)

Ta có: \(3\sqrt[3]{3} /> 3.\)

\(9\sqrt[3]{{30}} /> 9\sqrt[3]{{27}} = 27.\)

\(3\sqrt 3 \sqrt[3]{{{{30}^2}}} /> 3\sqrt[3]{{27.27}} = 27\) \( \Rightarrow \sqrt[3]{3} + 9\sqrt[3]{{30}} + 3\sqrt 3 \sqrt[3]{{{{30}^2}}} /> 57 /> 33.\)

Vậy \((*)\) sai \( \Rightarrow \sqrt 3 + \sqrt[3]{{30}} /> \sqrt[3]{{63}}.\)

c) Giả sử \(\sqrt[3]{7} + \sqrt {15} /> \sqrt {10} + \sqrt[3]{{28}}\) \( \Leftrightarrow \sqrt {15} – \sqrt {10} /> \sqrt[3]{{28}} – \sqrt[3]{7}.\)

\( \Leftrightarrow 5 – 2\sqrt {150} /> \sqrt[3]{{{{28}^2}}} – 2\sqrt[3]{{28.7}} + \sqrt[3]{{{7^2}}}.\)

\( \Leftrightarrow 5 + 2\sqrt[3]{{28.7}} /> \sqrt[3]{{{{28}^2}}} + 2\sqrt {155} + \sqrt[3]{{{7^2}}}\) \((*).\)

Do:

\(2\sqrt {155} /> 2\sqrt {125} \) \( = 2.5 = 10 /> 5.\)

\(\sqrt[3]{{{{28}^2}}} = \sqrt[3]{{{4^2}{{.7}^2}{{.4}^2}{{.7}^2}}}\) \( = 2\sqrt[3]{{{{2.7}^2}.28}} /> 2\sqrt[3]{{28.7}}.\)

Vậy \(\sqrt[3]{{{{28}^2}}} + 2\sqrt {155} + \sqrt[3]{{{7^2}}} /> 5 + 2\sqrt[3]{{28.7}}\) \( \Rightarrow (*)\) sai. Vậy \(\sqrt[3]{7} + \sqrt {15} < \sqrt {10} + \sqrt[3]{{28}}.\)

Bài 7. Chứng minh \(\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 – 5\sqrt 2 }} = 2.\)

Lời giải:

Ta có:

\( \Leftrightarrow 7 + 5\sqrt 2 \) \( + 3\sqrt[3]{{{{(7 + 5\sqrt 2 )}^2}}}\sqrt[3]{{7 – 5\sqrt 2 }}\) \( + 3\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }}\sqrt[3]{{{{(7 – 5\sqrt 2 )}^2}}}\) \( + 7 – 5\sqrt 2 = 8.\)

\( \Leftrightarrow 14 + 3\sqrt[3]{{( – 1)(7 + 5\sqrt 2 )}}\) \( + 3\sqrt[3]{{ – 1(7 – 5\sqrt 2 )}} = 8.\)

\( \Leftrightarrow 6 – 3\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} – 3\sqrt[3]{{7 – 5\sqrt 2 }} = 0\) \( \Leftrightarrow 6 – 3(\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 – 5\sqrt 2 }}) = 0.\)

\( \Leftrightarrow 6 – 3.2 = 0\) (điều phải chứng minh).

LUYỆN TẬP

Bài 8. Đơn giản biểu thức:

a) \(M = \frac{{\sqrt a – \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} – \sqrt[4]{b}}} – \frac{{\sqrt a + \sqrt[4]{{ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}.\)

b) \(N = \frac{{a – b}}{{\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{b}}} – \frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}.\)

c) \(E = \left[ {\frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} – \sqrt[3]{{ab}}} \right]:{(\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{b})^2}.\)

d) \(F = \frac{{a – 1}}{{{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{2}}}}} \cdot \frac{{\sqrt a + \sqrt[4]{a}}}{{\sqrt a + 1}}.{a^{\frac{1}{4}}} + 1.\)

Lời giải:

a) \(M = \frac{{(\sqrt[4]{a} – \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}}{{\sqrt[4]{a} – \sqrt[4]{b}}}\) \( – \frac{{\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}\) \( = \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b} – \sqrt[4]{a}\) \( = \sqrt[4]{b}.\)

b) \(N = \frac{{(\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}})}}{{\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{b}}}\) \( – \frac{{(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{{{a^2}}} – \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}})}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}.\)

\( = \sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}\) \( – \sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{{ab}} – \sqrt[3]{{{b^2}}}\) \( = 2\sqrt[3]{{ab}}.\)

c) \(E = \left[ {\frac{{(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{{{a^2}}} – \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}})}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} – \sqrt[3]{{ab}}} \right]\) \(:{(\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{b})^2}.\)

\( = (\sqrt[3]{{{a^2}}} – 2\sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}):{(\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{b})^2}\) \( = 1.\)

d) \(F = \frac{{(\sqrt a – 1)(\sqrt a + 1)}}{{{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{2}}}}}.\frac{{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} + {a^{\frac{1}{4}}}} \right){a^{\frac{1}{4}}}}}{{\sqrt a + 1}} + 1\) \( = \frac{{(\sqrt a – 1)\left( {{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{2}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{3}}} + {a^{\frac{1}{2}}}}} + 1\) \( = \sqrt a – 1 + 1\) \( = \sqrt a .\)

Bài 9. Từ tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương, chứng minh \(\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}\) (\(a \ge 0\), \(b \ge 0\), \(n\) nguyên dương).

Lời giải:

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sqrt[n]{a} = x}\\ {\sqrt[n]{b} = y} \end{array}} \right.\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ge 0}\\ {y \ge 0} \end{array}} \right..\) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a = {x^n}}\\ {b = {y^n}} \end{array}} \right.\) \( \Rightarrow ab = {x^n}.{y^n}.\)

Áp dụng tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương, ta có:

\(ab = {(xy)^n}\) \( \Rightarrow xy = \sqrt[n]{{ab}}\) \( \Rightarrow \sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}.\)

Bài 10. Chứng minh:

a) \(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } – \sqrt {4 – 2\sqrt 3 } = 2.\)

b) \(\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 – \sqrt {80} }} = 3.\)

Lời giải:

a) \(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } – \sqrt {4 – 2\sqrt 3 } \) \( = \sqrt {{{(\sqrt 3 + 1)}^2}} – \sqrt {{{(\sqrt 3 – 1)}^2}} \) \( = \sqrt 3 + 1 – (\sqrt 3 – 1)\) \( = 2.\)

b) Đặt \(x = \sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 – \sqrt {80} }}\) \( \Rightarrow {x^3} = {(\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 – \sqrt {80} }})^3}.\)

\( \Rightarrow {x^3} = 9 + \sqrt {80} + 9 – \sqrt {80} \) \( + 3\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}.\sqrt[3]{{9 – \sqrt {80} }}\left[ {\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 – \sqrt {80} }}} \right].\)

\( \Rightarrow {x^3} = 18 + 3x\) \( \Rightarrow {x^3} – 3x – 18 = 0.\)

\( \Rightarrow (x – 3)\left( {{x^2} + 3x + 6} \right)\) \( \Rightarrow x = 3.\)

Bài 11. So sánh các số:

a) \({(\sqrt 3 )^{ – \frac{5}{6}}}\) và \(\sqrt[3]{{{3^{ – 1}}.\sqrt[4]{{\frac{1}{3}}}}}.\)

b) \({3^{600}}\) và \({5^{400}}.\)

c) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – \frac{5}{7}}}\) và \(\sqrt 2 {.2^{\frac{3}{{14}}}}.\)

d) \({7^{30}}\) và \({4^{40}}.\)

Lời giải:

a) Ta có: \({(\sqrt 3 )^{ – \frac{5}{6}}} = {\left( {{3^{\frac{1}{2}}}} \right)^{ – \frac{5}{6}}} = {3^{ – \frac{5}{{12}}}}\) và \(\sqrt[3]{{{3^{ – 1}}.\sqrt[4]{{\frac{1}{3}}}}} = {\left( {{3^{ – 1}}{{.3}^{ – \frac{1}{4}}}} \right)^{\frac{1}{3}}}\) \( = {3^{ – \frac{5}{{12}}}}.\)

Vậy \({(\sqrt 3 )^{ – \frac{5}{6}}} = \sqrt[3]{{{3^{ – 1}}.\sqrt[4]{{\frac{1}{3}}}}}.\)

b) \({\left( {{3^6}} \right)^{100}} = {729^{100}}\) và \({\left( {{5^4}} \right)^{100}} = {(625)^{100}}\) \( \Rightarrow {3^{600}} /> {5^{400}}.\)

c) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – \frac{5}{7}}} = {\left[ {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{ – 1}}} \right]^{\frac{5}{7}}} = {2^{\frac{5}{7}}}\) và \(\sqrt 2 {.2^{\frac{3}{{14}}}} = {2^{\frac{1}{2}}}{.2^{\frac{3}{{14}}}}\) \( = {2^{\frac{1}{2} + \frac{3}{{14}}}} = {2^{\frac{5}{7}}}.\)

Vậy \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – \frac{5}{7}}} = \sqrt 2 {.2^{\frac{3}{{14}}}}.\)

d) \({7^{30}} = {\left( {{7^3}} \right)^{10}} = {343^{10}}.\)

\({4^{40}} = {\left( {{4^4}} \right)^{10}} = {256^{10}}.\)

Vì: \(343 /> 256 /> 0\) nên: \({343^{10}} /> {256^{10}}\) \( \Rightarrow {7^{30}} /> {4^{40}}.\)

Đánh giá và Nhận xét:

• Ưu điểm:
• Lời giải chi tiết và dễ hiểu, trình bày các bước biến đổi rõ ràng, giúp học sinh dễ dàng theo dõi và nắm bắt phương pháp giải.
• Bao phủ đầy đủ các dạng bài tập trong sách giáo khoa, từ nhận biết đúng sai, tính toán, đơn giản biểu thức đến chứng minh và so sánh.
• Sử dụng ký hiệu toán học chính xác, trình bày khoa học, giúp học sinh làm quen với cách trình bày bài giải chuẩn mực.
• Một số bài tập có kèm theo giải thích ngắn gọn về lý do chọn đáp án hoặc hướng giải, giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về bản chất vấn đề.