giải bài tập sgk hình học 12 cơ bản: phương trình đường thẳng trong không gian

Bài viết này cung cấp hướng dẫn chi tiết và đầy đủ cho việc giải các bài tập trong sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản, cụ thể là phần "Phương trình đường thẳng trong không gian". Nội dung bao gồm cả phần "Câu hỏi và bài tập" và phần "Luyện tập", giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Nội dung chi tiết:

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\) trong các trường hợp khác nhau:

• a) \(d\) đi qua điểm \(M(5; 4; 1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = (2; – 3;1).\)
• b) \(d\) đi qua điểm \(A(2; -1; 3)\) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình \(x + y – z + 5 = 0.\)
• c) \(d\) đi qua điểm \(B(2;0; -3)\) và song song với đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  
  {x = 1 + 2t}\\
  
  {y = – 3 + 3t}\\
  
  {z = 4t}
  
  \end{array}} \right..\)
• d) \(d\) đi qua hai điểm \(P(1;2;3)\) và \(Q(5;4;4).\)

Lời giải:

• a) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  
  {x = 5 + 2t}\\
  
  {y = 4 – 3t}\\
  
  {z = 1 + t}
  
  \end{array}} \right..\)
• b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  
  {x = 2 + t}\\
  
  {y = – 1 + t}\\
  
  {z = 3 – t}
  
  \end{array}} \right..\)
• c) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  
  {x = 2 + 2t}\\
  
  {y = 3t}\\
  
  {z = – 3 + 4t}
  
  \end{array}} \right..\)
• d) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  
  {x = 1 + 4t}\\
  
  {y = 2 + 2t}\\
  
  {z = 3 + t}
  
  \end{array}} \right..\)

Bài 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 2 + t}\\

{y = – 3 + 2t}\\

{z = 1 + 3t}

\end{array}} \right.\) lần lượt trên các mặt phẳng sau:

• a) \((Oxy).\)
• b) \((Oyz).\)

Lời giải:

• a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  
  {x = 2 – t}\\
  
  {y = – 3 – 2t}\\
  
  {z = 0}
  
  \end{array}} \right..\)
• b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  
  {x = 0}\\
  
  {y = – 3 + 2t}\\
  
  {z = 1 + 3t}
  
  \end{array}.} \right.\)

Bài 3. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng \(d\) và \(d’\) cho bởi các phương trình sau:

• a) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  
  {x = – 3 + 2t}\\
  
  {y = – 2 + 3t}\\
  
  {z = 6 + 4t}
  
  \end{array}} \right.\) và \(d’:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  
  {x = 5 + t’}\\
  
  {y = – 1 – 4t’}\\
  
  {z = 20 + t’}
  
  \end{array}} \right..\)
• b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  
  {x = 1 + t}\\
  
  {y = 2 + t}\\
  
  {z = 3 – t}
  
  \end{array}} \right.\) và \(d’:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  
  {x = 1 + 2t’}\\
  
  {y = – 1 + 2t’}\\
  
  {z = 2 – 2t’}
  
  \end{array}.} \right.\)

Lời giải:

• a) \(d\) cắt \(d’\) tại điểm \({M_0}(3;7;18).\)
• b) \(d\) và \(d’\) là hai đường thẳng song song.

Bài 4. Tìm \(a\) để hai đường thẳng sau đây cắt nhau:

\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 1 + at}\\

{y = t}\\

{z = – 1 + 2t}

\end{array}} \right.\) và \(d’:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 1 – t’}\\

{y = 2 + 2t’}\\

{z = 3 – t’}

\end{array}.} \right.\)

Lời giải:

\(a = 0\)

Bài 5. Tìm số giao điểm của đường thẳng \(d\) với mặt phẳng \((\alpha )\) trong các trường hợp sau:

• a) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  
  {x = 12 + 4t}\\
  
  {y = 9 + 3t}\\
  
  {z = 1 + t}
  
  \end{array}} \right.\) và \(3x + 5y – z – 2 = 0.\)
• b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  
  {x = 1 + t}\\
  
  {y = 2 – t}\\
  
  {z = 1 + 2t}
  
  \end{array}} \right.\) và \((\alpha ):x + 3y + z + 1 = 0.\)
• c) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  
  {x = 1 + t}\\
  
  {y = 1 + 2t}\\
  
  {z = 2 – 3t}
  
  \end{array}} \right.\) và \((\alpha ):x + y + z – 4 = 0.\)

Lời giải:

• a) Đường thẳng \(d\) cắt mặt phẳng \((\alpha )\) tại điểm \(A(0;0; – 2).\)
• b) \(d//(\alpha ).\) Vậy \(d\) và \((\alpha )\) không có điểm chung.
• c) \(d\) nằm trong mặt phẳng \((\alpha ).\) Vậy \(d\) và \((\alpha )\) có vô số điểm chung.

Bài 6. Tính khoảng cách giữa đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = – 3 + 2t}\\

{y = – 1 + 3t}\\

{z = – 1 + 2t}

\end{array}} \right.\) và mặt phẳng \((\alpha ):2x – 2y + z + 3 = 0.\)

Lời giải:

Khoảng cách giữa \(\Delta \) và \((\alpha )\) là \(\frac{2}{3}\) (đvđd).

Bài 7. Cho điểm \(A(1; 0; 0)\) và đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 2 + t}\\

{y = 1 + 2t}\\

{z = t}

\end{array}} \right..\)

• a) Tìm tọa độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên đường thẳng \(\Delta .\)
• b) Tìm tọa độ điểm \(A’\) đối xứng với \(A\) qua đường thẳng \(\Delta .\)

Lời giải:

• a) \(H\left( {\frac{3}{2};0; – \frac{1}{2}} \right).\)
• b) \(A(2; 0; -1).\)

Bài 8. Cho điểm \(M(1; 4; 2)\) và mặt phẳng \((\alpha ):x + y + z – 1 = 0.\)

• a) Tìm tọa độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(M\) trên mặt phẳng \((\alpha ).\)
• b) Tìm tọa độ điểm \(M’\) đối xứng với \(M\) qua mặt phẳng \((\alpha ).\)
• c) Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \((\alpha ).\)

Lời giải:

• a) \(H = ( – 1;2;0).\)
• b) \(M’ = ( – 3;0; – 2).\)
• c) \(d(M,(\alpha ))\) \( = 2\sqrt 3 \) (đvđd).

Bài 9. Cho hai đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 1 – t}\\

{y = 2 + 2t}\\

{z = 3t}

\end{array}} \right.\) và \(d’:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 1 + t}\\

{y = 3 – 2t}\\

{z = 1}

\end{array}} \right..\)

Chứng minh \(d\) và \(d’\) chéo nhau.

Lời giải:

Đã chứng minh \(d\) và \(d’\) chéo nhau.

Bài 10. Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:

Cho hình lập phương \(ABCD.A’B’C’D’\) có cạnh bằng \(1.\) Tính khoảng cách từ đỉnh \(A\) đến các mặt phẳng \((A’BD)\) và \((B’D’C).\)

Lời giải:

• Khoảng cách từ đỉnh \(A\) đến \((A’BD)\) là: \(d\left( {A,\left( {A’BD} \right)} \right)\) \( = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) (đvđd).
• Khoảng cách từ đỉnh \(A\) đến \((B’D’C)\) là: \(d\left( {A,\left( {B’D’C} \right)} \right)\) \( = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\) (đvđd).

Ưu điểm của hướng dẫn giải này:

• Chi tiết và dễ hiểu: Các bước giải được trình bày rõ ràng, dễ theo dõi, phù hợp với trình độ của học sinh trung bình.
• Đầy đủ các dạng bài: Hướng dẫn bao quát nhiều dạng bài tập khác nhau về phương trình đường thẳng trong không gian, giúp học sinh làm quen và nắm vững phương pháp giải cho từng dạng.
• Có tính ứng dụng cao: Việc áp dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian (bài 10) thể hiện tính ứng dụng của kiến thức và giúp học sinh mở rộng tư duy.

Hướng dẫn giải này là một tài liệu hữu ích cho học sinh trong quá trình học tập và ôn luyện môn Hình học 12. Với cách trình bày khoa học và dễ hiểu, tài liệu này giúp học sinh tự tin giải quyết các bài tập liên quan đến phương trình đường thẳng trong không gian.