sử dụng phương pháp hình học giải bài toán tìm gtln – gtnn môđun số phức

Tài liệu hướng dẫn giải toán tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất (GTLN – GTNN / max – min) của môđun số phức, do nhóm tác giả Toán Học Bắc Trung Nam biên soạn, là một nguồn tài liệu hữu ích dành cho học sinh chuyên Toán và những thí sinh luyện thi THPT Quốc gia. Với độ dài 27 trang, tài liệu tập trung vào phương pháp hình học, một tiếp cận sáng tạo và hiệu quả cho dạng toán vận dụng cao (VDC) thường xuất hiện trong chương trình Giải tích 12, cụ thể là chương 4 về Số phức. Điểm nổi bật của tài liệu là các bài tập trắc nghiệm được cung cấp kèm theo đáp án và lời giải chi tiết, giúp người học tự kiểm tra và củng cố kiến thức.

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Điểm Torricelli: Đối với tam giác ABC có góc lớn nhất không vượt quá 120 độ, điểm Torricelli là điểm T nằm trong tam giác, sao cho tổng độ dài ba cạnh TA, TB, TC là nhỏ nhất. Phương pháp xác định điểm Torricelli bao gồm việc dựng ba tam giác đều ACM, BCN, ABO trên các cạnh của tam giác ABC. Giao điểm của các đường tròn ngoại tiếp ba tam giác đều này (hoặc giao điểm của AN, BM, CO) chính là điểm Torricelli cần tìm.
2. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz: Bất đẳng thức này khẳng định rằng với hai dãy số thực a₁, a₂, ..., a_m và b₁, b₂, ..., b_m, ta luôn có: (a₁b₁ + a₂b₂ + ... + a_mb_m)² ≤ (a₁² + a₂² + ... + a_m²)(b₁² + b₂² + ... + b_m²). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các dãy số a_i và b_i tỉ lệ với nhau.
3. Định lý Ptoleme: Định lý này thiết lập mối quan hệ giữa độ dài bốn cạnh và hai đường chéo của một tứ giác nội tiếp đường tròn. Cụ thể, nếu A, B, C, và D là bốn đỉnh của tứ giác nội tiếp, thì AC.BD = AB.CD + BC.AD.
4. Bất đẳng thức Ptoleme: Là một mở rộng của định lý Ptoleme cho mọi tứ giác (không nhất thiết nội tiếp). Với tứ giác bất kỳ ABCD, ta có AC.BD ≤ AB.CD + BC.AD. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn.
5. Định lí Stewart: Trong một tam giác với các cạnh a, b, c, nếu có một đoạn thẳng d nối từ một đỉnh đến một điểm trên cạnh đối diện, chia cạnh đó thành hai đoạn m và n, thì định lý Stewart phát biểu rằng: b²m + c²n = a(d² + mn).

B. BÀI TẬP

Đánh giá và nhận xét: Tài liệu cung cấp một nền tảng kiến thức hình học vững chắc, cần thiết cho việc tiếp cận và giải quyết các bài toán GTLN – GTNN liên quan đến số phức. Việc trình bày các định lý và bất đẳng thức kèm theo điều kiện xảy ra dấu bằng giúp người học hiểu sâu sắc bản chất của vấn đề. Tuy nhiên, để nâng cao giá trị của tài liệu, có thể bổ sung thêm các ví dụ minh họa cụ thể cho từng kiến thức cơ bản, cũng như phân loại bài tập theo mức độ khó để phục vụ tốt hơn cho quá trình tự học của học sinh.