tính đơn điệu của hàm ẩn cho bởi đồ thị hàm f\"(x)

Tài liệu chuyên sâu này, với độ dài 46 trang, được thiết kế nhằm trang bị cho học sinh những kỹ năng giải quyết bài toán về tính đơn điệu của hàm ẩn cho bởi đồ thị hàm số f'(x). Nội dung tài liệu được phát triển dựa trên câu hỏi số 50 trong đề tham khảo kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán năm học 2019 – 2020, một câu hỏi được đánh giá là có tính phân loại cao và đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về đạo hàm và ứng dụng của nó.

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

II. BÀI TẬP MẪU

1. Đề bài: Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số g(x) = f(1 – 2x) + x^2 – x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

2. Bình luận: Đây là một bài toán vận dụng cao điển hình, tập trung vào khai thác tính đơn điệu của hàm số thông qua đồ thị đạo hàm. Để chinh phục dạng toán này và các biến thể mở rộng của nó, học sinh cần nắm vững các kiến thức nền tảng sau:

• Mối liên hệ chặt chẽ giữa tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm bậc nhất.
• Quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp, một kỹ năng không thể thiếu trong việc xử lý các hàm số phức tạp.

3. Phân tích hướng giải

a. Dạng toán: Bài toán thuộc dạng tìm khoảng đơn điệu của hàm ẩn có cấu trúc g(x) = f[u(x)] + v(x), trong đó ta đã biết đồ thị của hàm số đạo hàm y = f'(x). Dạng toán này thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi quan trọng và đòi hỏi tư duy linh hoạt.

b. Hướng giải

Cách 1:

1. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g(x): g'(x) = u'(x).f'[u(x)] + v'(x). Đây là bước quan trọng để đưa bài toán về xét dấu đạo hàm.
2. Bước 2: Dựa vào đồ thị của f'(x), lập bảng xét dấu cho g'(x). Bước này đòi hỏi khả năng đọc và phân tích đồ thị một cách chính xác.
3. Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu, kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số g(x).

Cách 2:

1. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g(x): g'(x) = u'(x).f'[u(x)] + v'(x).
2. Bước 2: Sử dụng điều kiện cần và đủ về tính đơn điệu: hàm số g(x) đồng biến khi và chỉ khi g'(x) ≥ 0 (tương tự cho nghịch biến).
3. Bước 3: Giải bất phương trình dựa trên đồ thị hàm số y = f'(x). Từ đó, đưa ra kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số g(x).

Cách 3: (Áp dụng cho trắc nghiệm)

1. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g(x): g'(x) = u'(x).f'[u(x)] + v'(x).
2. Bước 2: Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng K khi và chỉ khi g'(x) ≥ 0 với mọi x thuộc K (tương tự cho nghịch biến).
3. Bước 3: Lần lượt thay giá trị từ các phương án vào biểu thức g'(x) để loại trừ các đáp án sai. Đây là một kỹ thuật làm bài nhanh và hiệu quả trong các bài thi trắc nghiệm.

III. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN

Đánh giá ưu điểm: Tài liệu này có cấu trúc rõ ràng, đi từ kiến thức cơ bản đến bài tập mẫu và các hướng giải khác nhau, phù hợp với nhiều đối tượng học sinh. Việc cung cấp nhiều cách giải cho một bài toán giúp học sinh rèn luyện tư duy linh hoạt và lựa chọn phương pháp phù hợp nhất với khả năng của mình. Đặc biệt, phần "Bài tập tương tự và phát triển" sẽ giúp học sinh củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.