Bài 1. Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

Bài 1. Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian - Giải Toán 12 Cánh Diều Tập 1

Bài 1 trong chương 2 của sách Toán 12 Cánh Diều tập 1 giới thiệu về vectơ trong không gian, một khái niệm quan trọng trong hình học giải tích. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan về vectơ, các phép toán trên vectơ và cách áp dụng chúng để giải quyết các bài toán cụ thể.

1. Khái niệm vectơ trong không gian

Trong không gian Oxyz, một vectơ được xác định bởi tọa độ của nó. Vectơ a được biểu diễn bởi a = (x; y; z), trong đó x, y, z là các số thực. Vectơ có điểm đầu và điểm cuối, và có độ dài, hướng.

2. Các phép toán trên vectơ

• Phép cộng vectơ: Cho hai vectơ a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2), tổng của hai vectơ là a + b = (x1 + x2; y1 + y2; z1 + z2).
• Phép trừ vectơ: Cho hai vectơ a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2), hiệu của hai vectơ là a - b = (x1 - x2; y1 - y2; z1 - z2).
• Phép nhân vectơ với một số thực: Cho vectơ a = (x; y; z) và số thực k, tích của vectơ a với k là ka = (kx; ky; kz).

3. Các tính chất của phép toán vectơ

Các phép toán trên vectơ thỏa mãn các tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối, và có vectơ không là phần tử trung hòa của phép cộng. Ví dụ:

• a + b = b + a (tính chất giao hoán của phép cộng)
• (a + b) + c = a + (b + c) (tính chất kết hợp của phép cộng)
• k(a + b) = ka + kb (tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng)

4. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho a = (1; 2; 3) và b = (-2; 1; 0). Tính a + b và 2a.

Giải:

a + b = (1 - 2; 2 + 1; 3 + 0) = (-1; 3; 3)

2a = (2 * 1; 2 * 2; 2 * 3) = (2; 4; 6)

Ví dụ 2: Tìm vectơ x sao cho x + (1; -2; 3) = (4; 0; -1).

Giải:

x = (4; 0; -1) - (1; -2; 3) = (4 - 1; 0 - (-2); -1 - 3) = (3; 2; -4)

5. Ứng dụng của vectơ trong không gian

Vectơ trong không gian có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như vật lý, kỹ thuật, đồ họa máy tính, và các bài toán hình học không gian. Chúng được sử dụng để mô tả vị trí, vận tốc, gia tốc, lực, và các đại lượng vật lý khác.

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về vectơ trong không gian và các phép toán trên vectơ, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. montoan.com.vn cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng, phong phú, giúp các em củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em một cái nhìn tổng quan về Bài 1. Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian - SGK Toán 12 - Cánh diều. Chúc các em học tập tốt!