Bài 2. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes - Giải Toán 12 Chân trời sáng tạo

Bài 2 trong chương 6 sách Toán 12 Chân trời sáng tạo tập trung vào hai công thức quan trọng trong lý thuyết xác suất: công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Việc nắm vững hai công thức này là nền tảng để giải quyết các bài toán xác suất phức tạp, đặc biệt trong các lĩnh vực như thống kê, khoa học dữ liệu và các ứng dụng thực tế khác.

1. Công thức xác suất toàn phần

Công thức xác suất toàn phần được sử dụng để tính xác suất của một biến cố khi biến cố đó có thể xảy ra thông qua một số các biến cố khác, đôi một loại trừ.

Phát biểu: Nếu B₁, B₂, ..., B_n là một hệ các biến cố đôi một loại trừ và B₁ ∪ B₂ ∪ ... ∪ B_n = Ω (không gian mẫu), thì xác suất của biến cố A được tính bằng:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|B_n)P(B_n)

Ví dụ: Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất. Dây chuyền 1 sản xuất 60% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 2%. Dây chuyền 2 sản xuất 40% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 3%. Tính xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi.

Giải:

• Gọi A là biến cố “sản phẩm được chọn là sản phẩm lỗi”.
• Gọi B₁ là biến cố “sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 1”.
• Gọi B₂ là biến cố “sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 2”.

Ta có:

• P(B₁) = 0.6
• P(B₂) = 0.4
• P(A|B₁) = 0.02
• P(A|B₂) = 0.03

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) = 0.02 * 0.6 + 0.03 * 0.4 = 0.012 + 0.012 = 0.024

Vậy xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi là 2.4%.

2. Công thức Bayes

Công thức Bayes được sử dụng để tính xác suất có điều kiện của một biến cố khi biết thông tin về một biến cố khác liên quan đến nó.

Phát biểu: Nếu B₁, B₂, ..., B_n là một hệ các biến cố đôi một loại trừ và B₁ ∪ B₂ ∪ ... ∪ B_n = Ω, thì xác suất có điều kiện P(B_i|A) được tính bằng:

P(B_i|A) = [P(A|B_i)P(B_i)] / P(A)

Trong đó P(A) được tính theo công thức xác suất toàn phần: P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|B_n)P(B_n)

Ví dụ: Sử dụng dữ liệu từ ví dụ trên, tính xác suất một sản phẩm lỗi được sản xuất từ dây chuyền 1.

Giải:

• Gọi A là biến cố “sản phẩm được chọn là sản phẩm lỗi”.
• Gọi B₁ là biến cố “sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 1”.

Ta đã tính được P(A) = 0.024. Ta có P(A|B₁) = 0.02 và P(B₁) = 0.6.

Áp dụng công thức Bayes:

P(B₁|A) = [P(A|B₁)P(B₁)] / P(A) = (0.02 * 0.6) / 0.024 = 0.012 / 0.024 = 0.5

Vậy xác suất một sản phẩm lỗi được sản xuất từ dây chuyền 1 là 50%.

3. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức, bạn có thể tự giải các bài tập sau:

1. Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Rút ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất cả hai quả bóng đều màu đỏ.
2. Một cuộc khảo sát cho thấy 60% người dân ủng hộ chính sách A. Trong số những người ủng hộ chính sách A, 70% là nam giới. Trong số những người không ủng hộ chính sách A, 30% là nam giới. Tính xác suất một người được chọn ngẫu nhiên là nam giới và ủng hộ chính sách A.

Montoan.com.vn hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Chúc bạn học tốt!