THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết xác suất toàn phần và công thức Bayes trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo. Đây là một trong những chủ đề quan trọng, giúp bạn giải quyết các bài toán xác suất phức tạp một cách hiệu quả.
Bài học này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức nền tảng vững chắc, cùng với các ví dụ minh họa cụ thể, giúp bạn hiểu rõ cách áp dụng các công thức vào thực tế.
1. Công thức xác suất toàn phần
1. Công thức xác suất toàn phần
Cho hai biến cố A và B với 0 < P(B) < 1. Khi đó \(P(A) = P(B).P(A|B) + P(\overline B ).P(A|\overline B )\) gọi là công thức xác suất toàn phần. |
Ví dụ: Một loại xét nghiệm nhanh SARS-CoV-2 cho kết quả dương tính với 76,2% các ca thực sự nhiễm virus và kết quả âm tính với 99,1% các ca thực sự không nhiễm virus. Giả sử tỉ lệ người nhiễm virus SARS-CoV-2 trong một cộng đồng là 1%. Một người trong cộng đồng đó làm xét nghiệm và nhận được kết quả dương tính. Hỏi khả năng người đó thực sự nhiễm virus là cao hay thấp?
Giải:
Gọi A là biến cố "Người làm xét nghiệm có kết quả dương tính" và B là biến cố "Người làm xét nghiệm thực sự nhiễm virus".
Đối với xét nghiệm cho kết quả dương tính, có 76,2% các ca thực sự nhiễm virus nên P(A∣B) = 0,762.P(A∣B) = 0,762.
Đối với xét nghiệm cho kết quả âm tính, có 99,1% các ca thực sự không nhiễm virus nên P(A̅|B̅) = 0,991. Suy ra P(A̅|B) = 1 - 0,991 = 0,009.
Do tỉ lệ người nhiễm virus trong cộng đồng là 1%, nên P(B) = 0,01.P(B) = 0,01 và P(B̅) = 0,99.
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất người làm xét nghiệm có kết quả dương tính là:
P(A) = P(B).P(A∣B) + P(B) P(A∣B) = 0,01.0,762 + 0,99.0,009 = 0,01653.
2.Công thức Bayes
Giả sử A và B là hai biến cố ngẫu nhiên thỏa mãn P(A) > 0 và 0 < P(B) < 1. Khi đó \(P(B|A) = \frac{{P(B).P(A|B)}}{{P(B).P(A|B) + P(\overline B ).P(A|\overline B )}}\) gọi là công thức Bayes. |
Chú ý: - Công thức Bayes vẫn đúng với biến cố B bất kì. - Với P(A) > 0, công thức \(P(B\mid A) = \frac{{P\left( B \right)P(A\mid B)}}{{P(A)}}\) cũng được gọi là công thức Bayes.
Ví dụ: Một nhà máy có hai phân xưởng I và II. Phân xưởng I sản xuất 40% số sản phẩm và phân xưởng II sản xuất 60% số sản phẩm. Tỷ lệ sản phẩm bị lỗi của phân xưởng I là 2% và của phân xưởng II là 1%. Kiểm tra ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy.
a) Tính xác suất để sản phẩm đó bị lỗi.
b) Biết rằng sản phẩm được kiểm tra bị lỗi. Hỏi xác suất sản phẩm đó do phân xưởng nào sản xuất cao hơn?
Giải:
a) Gọi A là biến cố “Sản phẩm được kiểm tra bị lỗi” và B là biến cố “Sản phẩm được kiểm tra do phân xưởng I sản xuất”.
Do phân xưởng I sản xuất 40% số sản phẩm và phân xưởng II sản xuất 60% số sản phẩm nên
\(P(B) = 0,4\) và \(P(\overline B ) = 1 - 0,4 = 0,6\).
Do tỷ lệ sản phẩm bị lỗi của phân xưởng I là 2% và của phân xưởng II là 1% nên:
\(P(A|B) = 0,02\) và \(P(A|\overline B ) = 0,01\).
Xác suất để sản phẩm được kiểm tra bị lỗi là:
\(P(A) = P(B).P(A|B) + P(\overline B ).P(A|\overline B ) = 0,4.0,02 + 0,6.0,01 = 0,014\).
b) Nếu sản phẩm được kiểm tra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng I sản xuất là:
\(P(B|A) = \frac{{P(B).P(A|B)}}{{P(A)}} = \frac{{0,4.0,02}}{{0,014}} = \frac{4}{7}\).
Nếu sản phẩm được kiểm tra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng II sản xuất là:
\(P(\overline B |A) = 1 - P(B|A) = \frac{3}{7}\).
Vậy nếu sản phẩm được kiểm tra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng I sản xuất cao hơn xác suất sản phẩm đó do phân xưởng II sản xuất.
Trong chương trình Toán 12 Chân Trời Sáng Tạo, hai khái niệm quan trọng trong lĩnh vực xác suất là công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Việc nắm vững hai công thức này không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán xác suất phức tạp mà còn là nền tảng cho các ứng dụng thực tế trong nhiều lĩnh vực khác.
1. Định nghĩa:
Giả sử A là một biến cố. Ta gọi H1, H2, ..., Hn là một hệ các biến cố đầy đủ, nghĩa là chúng đôi một xung khắc và tổng xác suất của chúng bằng 1 (∑P(Hi) = 1). Khi đó, xác suất của biến cố A được tính theo công thức:
P(A) = P(H1)P(A|H1) + P(H2)P(A|H2) + ... + P(Hn)P(A|Hn)
Công thức này cho phép tính xác suất của một biến cố A khi biết xác suất của các biến cố đầy đủ và xác suất có điều kiện của A khi biết từng biến cố đầy đủ.
2. Ví dụ minh họa:
Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất. Dây chuyền 1 sản xuất 60% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 2%. Dây chuyền 2 sản xuất 40% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 3%. Tính xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi.
Giải:
Ta có:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần:
P(A) = P(H1)P(A|H1) + P(H2)P(A|H2) = 0.6 * 0.02 + 0.4 * 0.03 = 0.024
Vậy, xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi là 2.4%.
1. Định nghĩa:
Công thức Bayes cho phép tính xác suất có điều kiện của một biến cố khi biết kết quả của một biến cố khác. Cụ thể, nếu H1, H2, ..., Hn là một hệ các biến cố đầy đủ, thì:
P(Hi|A) = [P(A|Hi) * P(Hi)] / P(A)
Trong đó, P(Hi|A) là xác suất của biến cố Hi khi biết biến cố A đã xảy ra.
2. Ví dụ minh họa:
Sử dụng dữ liệu từ ví dụ trên, tính xác suất một sản phẩm lỗi được sản xuất từ dây chuyền 2.
Giải:
Ta đã tính được P(A) = 0.024. Ta có P(A|H2) = 0.03 và P(H2) = 0.4.
Áp dụng công thức Bayes:
P(H2|A) = [P(A|H2) * P(H2)] / P(A) = (0.03 * 0.4) / 0.024 = 0.5
Vậy, xác suất một sản phẩm lỗi được sản xuất từ dây chuyền 2 là 50%.
Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Để củng cố kiến thức, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:
Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về lý thuyết công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Chúc bạn học tập tốt!
