THCS
THCS
Montoan.com.vn là địa chỉ tin cậy giúp học sinh giải các bài tập Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo một cách nhanh chóng và hiệu quả. Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho mục 2 trang 33 và 34, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi luôn cập nhật lời giải mới nhất, đảm bảo độ chính xác cao và phù hợp với nội dung sách giáo khoa hiện hành.
Trong không gian (Oxyz), cho mặt phẳng (left( alpha right)) có cặp vectơ chỉ phương (vec a = left( {{a_1};{a_2};{a_3}} right)), (vec b = left( {{b_1};{b_2};{b_3}} right)). Xét vectơ (vec n = left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} right)).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 33, 34 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có cặp vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\), \(\vec b = \left( {{b_1};{b_2};{b_3}} \right)\). Xét vectơ \(\vec n = \left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\).
a) Vectơ \(\vec n\) có khác \(\vec 0\) hay không?
b) Tính \(\vec a.\vec n\); \(\vec b.\vec n\).
c) Vectơ \(\vec n\) có phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) không?
Phương pháp giải:
a) Giả sử \(\vec n = \vec 0\), sau đó chứng minh rằng \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ cùng phương. Điều này là vô lí do \(\vec a\) và \(\vec b\) là một cặp vectơ chỉ phương của \(\left( \alpha \right)\).
b) Sử dụng công thức tích vô hướng của hai vectơ trong không gian.
c) Để chứng minh \(\vec n\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), ta chỉ ra rằng \(\vec n\) có giá vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) Giả sử \(\vec n = \vec 0\), khi đó \({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2} = {a_3}{b_1} - {a_1}{b_3} = {a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} = 0\).
Với trường hợp \({b_1}\), \({b_2}\), \({b_3}\) cùng khác 0, ta suy ra \(\frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{{a_3}}}{{{b_3}}}\), điều này có nghĩa \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ cùng phương.
Nếu \({b_1} = 0\) thì \({a_1} = 0\), ta vẫn thu được kết quả \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ cùng phương.
Các trường hợp còn lại cho ra kết quả tương tự.
Như vậy \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ cùng phương.
Mặt khác, do \(\vec a\) và \(\vec b\) là một cặp vectơ chỉ phương của \(\left( \alpha \right)\), nên \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ không cùng phương, mâu thuẫn.
Như vậy \(\vec n \ne \vec 0\).
b) Ta có:
+)\(\vec a.\vec n = {a_1}\left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}} \right) + {a_2}\left( {{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3}} \right) + {a_3}\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\)
\( = {a_1}{a_2}{b_3} - {a_1}{a_3}{b_2} + {a_2}{a_3}{b_1} - {a_2}{a_1}{b_3} + {a_3}{a_1}{b_2} - {a_3}{a_2}{b_1} = 0\)
+) \(\vec b.\vec n = {b_1}\left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}} \right) + {b_2}\left( {{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3}} \right) + {b_3}\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\)
\( = {b_1}{a_2}{b_3} - {b_1}{a_3}{b_2} + {b_2}{a_3}{b_1} - {b_2}{a_1}{b_3} + {b_3}{a_1}{b_2} - {b_3}{a_2}{b_1} = 0\)
Như vậy \(\vec a.\vec n = \vec b.\vec n = 0\).
c) Theo câu b, ta có \(\vec a.\vec n = \vec b.\vec n = 0\), điều này có nghĩa là \(\vec n\) có giá vuông góc với giá của \(\vec a\) và \(\vec b\). Mà \(\vec a\) và \(\vec b\) là một cặp vectơ chỉ phương của \(\left( \alpha \right)\), nên \(\vec n\) có giá vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Như vậy \(\vec n\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 34 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {1;1;1} \right)\), \(B\left( { - 1;1;5} \right)\), \(C\left( {10;7; - 1} \right)\). Tìm một cặp vectơ chỉ phương và một vectơ pháp tuyến của \(\left( Q \right)\).
Phương pháp giải:
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\left( {1;1;1} \right)\), \(B\left( { - 1;1;5} \right)\), , nên nó sẽ có một cặp vectơ chỉ phương là và .
Để tìm toạ độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng , thực hiện tính tích có hướng của hai vectơ và . Vectơ thu được là một\(C\left( {10;7; - 1} \right)\) vectơ pháp tuyến của \(\left( Q \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\left( {1;1;1} \right)\), \(B\left( { - 1;1;5} \right)\), \(C\left( {10;7; - 1} \right)\), nên nó sẽ có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \left( { - 2;0;4} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} \left( {9;6; - 2} \right)\).
Tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là:
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0.\left( { - 2} \right) - 4.6;4.9 - \left( { - 2} \right).\left( { - 2} \right); - 2.6 - 0.9} \right) = \left( { - 24;32; - 12} \right)\)
Do đó, mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nhận \(\vec n = \frac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 6;8; - 3} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 33, 34 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có cặp vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\), \(\vec b = \left( {{b_1};{b_2};{b_3}} \right)\). Xét vectơ \(\vec n = \left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\).
a) Vectơ \(\vec n\) có khác \(\vec 0\) hay không?
b) Tính \(\vec a.\vec n\); \(\vec b.\vec n\).
c) Vectơ \(\vec n\) có phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) không?
Phương pháp giải:
a) Giả sử \(\vec n = \vec 0\), sau đó chứng minh rằng \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ cùng phương. Điều này là vô lí do \(\vec a\) và \(\vec b\) là một cặp vectơ chỉ phương của \(\left( \alpha \right)\).
b) Sử dụng công thức tích vô hướng của hai vectơ trong không gian.
c) Để chứng minh \(\vec n\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), ta chỉ ra rằng \(\vec n\) có giá vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) Giả sử \(\vec n = \vec 0\), khi đó \({a_2}{b_3} - {a_3}{b_2} = {a_3}{b_1} - {a_1}{b_3} = {a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} = 0\).
Với trường hợp \({b_1}\), \({b_2}\), \({b_3}\) cùng khác 0, ta suy ra \(\frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{{a_3}}}{{{b_3}}}\), điều này có nghĩa \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ cùng phương.
Nếu \({b_1} = 0\) thì \({a_1} = 0\), ta vẫn thu được kết quả \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ cùng phương.
Các trường hợp còn lại cho ra kết quả tương tự.
Như vậy \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ cùng phương.
Mặt khác, do \(\vec a\) và \(\vec b\) là một cặp vectơ chỉ phương của \(\left( \alpha \right)\), nên \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ không cùng phương, mâu thuẫn.
Như vậy \(\vec n \ne \vec 0\).
b) Ta có:
+)\(\vec a.\vec n = {a_1}\left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}} \right) + {a_2}\left( {{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3}} \right) + {a_3}\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\)
\( = {a_1}{a_2}{b_3} - {a_1}{a_3}{b_2} + {a_2}{a_3}{b_1} - {a_2}{a_1}{b_3} + {a_3}{a_1}{b_2} - {a_3}{a_2}{b_1} = 0\)
+) \(\vec b.\vec n = {b_1}\left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}} \right) + {b_2}\left( {{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3}} \right) + {b_3}\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\)
\( = {b_1}{a_2}{b_3} - {b_1}{a_3}{b_2} + {b_2}{a_3}{b_1} - {b_2}{a_1}{b_3} + {b_3}{a_1}{b_2} - {b_3}{a_2}{b_1} = 0\)
Như vậy \(\vec a.\vec n = \vec b.\vec n = 0\).
c) Theo câu b, ta có \(\vec a.\vec n = \vec b.\vec n = 0\), điều này có nghĩa là \(\vec n\) có giá vuông góc với giá của \(\vec a\) và \(\vec b\). Mà \(\vec a\) và \(\vec b\) là một cặp vectơ chỉ phương của \(\left( \alpha \right)\), nên \(\vec n\) có giá vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Như vậy \(\vec n\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 34 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {1;1;1} \right)\), \(B\left( { - 1;1;5} \right)\), \(C\left( {10;7; - 1} \right)\). Tìm một cặp vectơ chỉ phương và một vectơ pháp tuyến của \(\left( Q \right)\).
Phương pháp giải:
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\left( {1;1;1} \right)\), \(B\left( { - 1;1;5} \right)\), , nên nó sẽ có một cặp vectơ chỉ phương là và .
Để tìm toạ độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng , thực hiện tính tích có hướng của hai vectơ và . Vectơ thu được là một\(C\left( {10;7; - 1} \right)\) vectơ pháp tuyến của \(\left( Q \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\left( {1;1;1} \right)\), \(B\left( { - 1;1;5} \right)\), \(C\left( {10;7; - 1} \right)\), nên nó sẽ có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \left( { - 2;0;4} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} \left( {9;6; - 2} \right)\).
Tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là:
\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0.\left( { - 2} \right) - 4.6;4.9 - \left( { - 2} \right).\left( { - 2} \right); - 2.6 - 0.9} \right) = \left( { - 24;32; - 12} \right)\)
Do đó, mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nhận \(\vec n = \frac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 6;8; - 3} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 34 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho biết hai vectơ \(\vec a = \left( {2;1;1} \right)\), \(\vec b = \left( {1; - 2;0} \right)\) có giá lần lượt song song với ngón trỏ và ngón giữa của bàn tay trong hình dưới đây. Tìm vectơ \(\vec n\) có giá song song với ngón cái. (Xem như ba ngón tay nói trên tạo thành 3 đường thẳng đôi một vuông góc).
Phương pháp giải:
Theo hình vẽ, do vectơ \(\vec n\) có giá vuông góc lần lượt với giá của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\), nên có thể chọn vectơ \(\vec n\) là tích có hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\).
Lời giải chi tiết:
Theo hình vẽ, do vectơ \(\vec n\) có giá vuông góc lần lượt với giá của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\), nên có thể chọn vectơ \(\vec n\) là tích có hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\).
Tích có hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) là
\(\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {1.0 - 1.\left( { - 2} \right);1.1 - 2.0;2.\left( { - 2} \right) - 1.1} \right) = \left( {2;1; - 5} \right)\).
Do đó, vectơ \(\vec n\) cần tìm là \(\vec n = \left( {2;1; - 5} \right)\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 34 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho biết hai vectơ \(\vec a = \left( {2;1;1} \right)\), \(\vec b = \left( {1; - 2;0} \right)\) có giá lần lượt song song với ngón trỏ và ngón giữa của bàn tay trong hình dưới đây. Tìm vectơ \(\vec n\) có giá song song với ngón cái. (Xem như ba ngón tay nói trên tạo thành 3 đường thẳng đôi một vuông góc).
Phương pháp giải:
Theo hình vẽ, do vectơ \(\vec n\) có giá vuông góc lần lượt với giá của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\), nên có thể chọn vectơ \(\vec n\) là tích có hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\).
Lời giải chi tiết:
Theo hình vẽ, do vectơ \(\vec n\) có giá vuông góc lần lượt với giá của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\), nên có thể chọn vectơ \(\vec n\) là tích có hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\).
Tích có hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) là
\(\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {1.0 - 1.\left( { - 2} \right);1.1 - 2.0;2.\left( { - 2} \right) - 1.1} \right) = \left( {2;1; - 5} \right)\).
Do đó, vectơ \(\vec n\) cần tìm là \(\vec n = \left( {2;1; - 5} \right)\).
Mục 2 của chương trình Toán 12 tập 2 Chân trời sáng tạo thường tập trung vào các kiến thức về đạo hàm của hàm số. Cụ thể, trang 33 và 34 thường chứa các bài tập liên quan đến việc tính đạo hàm, ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, tìm cực trị, và giải các bài toán thực tế liên quan đến tối ưu hóa.
Để giải quyết các bài tập trong mục này, học sinh cần nắm vững các công thức và quy tắc đạo hàm cơ bản, bao gồm:
Lời giải:
f'(x) = (x3)' - 2(x2)' + 5(x)' - (1)' = 3x2 - 4x + 5
Lời giải:
y' = cos(2x) * (2x)' = 2cos(2x)
Để khảo sát hàm số, ta thực hiện các bước sau:
Đạo hàm có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:
Khi giải bài tập về đạo hàm, học sinh cần:
Ngoài sách giáo khoa, học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm là rất quan trọng đối với học sinh lớp 12. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, các em sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập trong mục 2 trang 33, 34 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tốt!
