Giải bài tập 4 trang 37 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Giải bài tập 4 trang 37 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Tổng quan

Bài tập 4 trang 37 SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo thuộc chương 1: Hàm số và đồ thị. Bài tập này tập trung vào việc xét tính đơn điệu của hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức về đạo hàm, điều kiện đơn điệu của hàm số và cách xét dấu đạo hàm.

Nội dung bài tập 4 trang 37 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Bài tập yêu cầu xét tính đơn điệu của các hàm số sau trên khoảng được chỉ ra:

a) y = x³ - 3x² + 2 trên khoảng (-∞; 0)
b) y = x⁴ - 4x³ + 4x² + 1 trên khoảng (0; 2)
c) y = (x - 1)²(x² + 1) trên khoảng (1; +∞)

Phương pháp giải bài tập xét tính đơn điệu

Tính đạo hàm cấp nhất y' của hàm số.
Tìm tập xác định của hàm số.
Giải phương trình y' = 0 để tìm các điểm cực trị.
Lập bảng xét dấu y' trên các khoảng xác định.
Kết luận về tính đơn điệu của hàm số trên các khoảng đó.

Lời giải chi tiết bài tập 4 trang 37 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo

a) y = x³ - 3x² + 2 trên khoảng (-∞; 0)

Ta có y' = 3x² - 6x = 3x(x - 2). Trên khoảng (-∞; 0), x < 0 và x - 2 < 0, do đó y' = 3x(x - 2) > 0. Vậy hàm số y = x³ - 3x² + 2 đồng biến trên khoảng (-∞; 0).

b) y = x⁴ - 4x³ + 4x² + 1 trên khoảng (0; 2)

Ta có y' = 4x³ - 12x² + 8x = 4x(x² - 3x + 2) = 4x(x - 1)(x - 2). Trên khoảng (0; 1), x > 0, x - 1 < 0, x - 2 < 0, do đó y' > 0. Trên khoảng (1; 2), x > 0, x - 1 > 0, x - 2 < 0, do đó y' < 0. Vậy hàm số y = x⁴ - 4x³ + 4x² + 1 đồng biến trên khoảng (0; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; 2).

c) y = (x - 1)²(x² + 1) trên khoảng (1; +∞)

Ta có y' = 2(x - 1)(x² + 1) + (x - 1)²(2x) = 2(x - 1)(x² + 1 + (x - 1)x) = 2(x - 1)(x² + 1 + x² - x) = 2(x - 1)(2x² - x + 1). Vì 2x² - x + 1 có biệt thức Δ = (-1)² - 4(2)(1) = -7 < 0 và hệ số a = 2 > 0 nên 2x² - x + 1 > 0 với mọi x. Trên khoảng (1; +∞), x - 1 > 0. Do đó y' > 0. Vậy hàm số y = (x - 1)²(x² + 1) đồng biến trên khoảng (1; +∞).

Lưu ý khi giải bài tập xét tính đơn điệu

Luôn xác định đúng tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm chính xác.
Lập bảng xét dấu đạo hàm một cách cẩn thận.
Kết luận đúng về tính đơn điệu của hàm số trên các khoảng xác định.

Ứng dụng của việc xét tính đơn điệu

Việc xét tính đơn điệu của hàm số có nhiều ứng dụng trong toán học, đặc biệt là trong việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, giải các bài toán tối ưu và vẽ đồ thị hàm số.

Tổng kết

Bài tập 4 trang 37 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng xét tính đơn điệu của hàm số. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày trong bài viết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập tương tự.