Giải mục 1 trang 6,7 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Giải mục 1 trang 6,7 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 1 trang 6,7 sách giáo khoa Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chất lượng cao, đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh. Hãy cùng montoan.com.vn khám phá lời giải chi tiết ngay sau đây!
Khái niệm nguyên hàm
KP1
Trả lời câu hỏi Khám phá 1 trang 6 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2x\) xác định trên \(\mathbb{R}\). Tìm một hàm số \(F\left( x \right)\) sao cho \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức đạo hàm được học ở lớp 11 để tìm một hàm số có đạo hàm là \(2x\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\left( {{x^2}} \right)' = 2x\), nên \(F\left( x \right) = {x^2}\) là một hàm số cần tìm.
TH1
Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 7 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Chứng minh rằng \(F\left( x \right) = {e^{2x + 1}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 2{e^{2x + 1}}\) trên \(\mathbb{R}\).
Phương pháp giải:
Tính đạo hàm \(F'\left( x \right)\) và so sánh với \(f\left( x \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(F'\left( x \right) = \left( {{e^{2x + 1}}} \right)' = 2{e^{2x + 1}} = f\left( x \right)\), nên \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\).
KP2
Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 6 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2}\) xác định trên \(\mathbb{R}\).
a) Chứng minh rằng \(F\left( x \right) = {x^3}\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\).
b) Với \(C\) là hằng số tuỳ ý, hàm số \(H\left( x \right) = F\left( x \right) + C\) có là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) không?
c) Giả sử \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\). Tìm đạo hàm của hàm số \(G\left( x \right) - F\left( x \right)\). Từ đó, có nhận xét gì về hàm số \(G\left( x \right) - F\left( x \right)\)?
Phương pháp giải:
a) Để chứng minh \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\), ta cần chỉ ra rằng \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).
b) Để kiểm tra hàm số \(H\left( x \right)\) có là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) hay không, ta cần tính đạo hàm \(H'\left( x \right)\) và so sánh với \(f\left( x \right)\).
c) Tính đạo hàm \(\left[ {G\left( x \right) - F\left( x \right)} \right]'\) và rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(F'\left( x \right) = 3{x^2} = f\left( x \right)\), nên \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\).
b) Ta có \(H'\left( x \right) = \left[ {F\left( x \right) + C} \right]' = F'\left( x \right) + C' = f\left( x \right)\) (do \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\)), nên \(H\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\).
c) Do \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\), ta có \(G'\left( x \right) = f\left( x \right)\).
Ta có \(\left[ {G\left( x \right) - F\left( x \right)} \right]' = G'\left( x \right) - F'\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( x \right) = 0\).
Vậy đạo hàm của hàm số \(G\left( x \right) - F\left( x \right)\) bằng 0, tức là \(G\left( x \right) - F\left( x \right)\) là một hằng số (do đạo hàm của một hằng số thì bằng 0).
- KP1
- KP2
- TH1
Trả lời câu hỏi Khám phá 1 trang 6 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2x\) xác định trên \(\mathbb{R}\). Tìm một hàm số \(F\left( x \right)\) sao cho \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức đạo hàm được học ở lớp 11 để tìm một hàm số có đạo hàm là \(2x\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\left( {{x^2}} \right)' = 2x\), nên \(F\left( x \right) = {x^2}\) là một hàm số cần tìm.
Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 6 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2}\) xác định trên \(\mathbb{R}\).
a) Chứng minh rằng \(F\left( x \right) = {x^3}\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\).
b) Với \(C\) là hằng số tuỳ ý, hàm số \(H\left( x \right) = F\left( x \right) + C\) có là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) không?
c) Giả sử \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\). Tìm đạo hàm của hàm số \(G\left( x \right) - F\left( x \right)\). Từ đó, có nhận xét gì về hàm số \(G\left( x \right) - F\left( x \right)\)?
Phương pháp giải:
a) Để chứng minh \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\), ta cần chỉ ra rằng \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).
b) Để kiểm tra hàm số \(H\left( x \right)\) có là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) hay không, ta cần tính đạo hàm \(H'\left( x \right)\) và so sánh với \(f\left( x \right)\).
c) Tính đạo hàm \(\left[ {G\left( x \right) - F\left( x \right)} \right]'\) và rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(F'\left( x \right) = 3{x^2} = f\left( x \right)\), nên \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\).
b) Ta có \(H'\left( x \right) = \left[ {F\left( x \right) + C} \right]' = F'\left( x \right) + C' = f\left( x \right)\) (do \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\)), nên \(H\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\).
c) Do \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\), ta có \(G'\left( x \right) = f\left( x \right)\).
Ta có \(\left[ {G\left( x \right) - F\left( x \right)} \right]' = G'\left( x \right) - F'\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( x \right) = 0\).
Vậy đạo hàm của hàm số \(G\left( x \right) - F\left( x \right)\) bằng 0, tức là \(G\left( x \right) - F\left( x \right)\) là một hằng số (do đạo hàm của một hằng số thì bằng 0).
Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 7 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Chứng minh rằng \(F\left( x \right) = {e^{2x + 1}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 2{e^{2x + 1}}\) trên \(\mathbb{R}\).
Phương pháp giải:
Tính đạo hàm \(F'\left( x \right)\) và so sánh với \(f\left( x \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(F'\left( x \right) = \left( {{e^{2x + 1}}} \right)' = 2{e^{2x + 1}} = f\left( x \right)\), nên \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\).
Giải mục 1 trang 6,7 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo: Tổng quan
Mục 1 trang 6,7 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học về đạo hàm. Đây là một phần kiến thức quan trọng, nền tảng cho việc giải quyết các bài toán liên quan đến sự biến thiên của hàm số, cực trị, và ứng dụng của đạo hàm trong thực tế. Việc nắm vững kiến thức trong mục này sẽ giúp học sinh có được kết quả tốt trong các kỳ thi sắp tới.
Nội dung chính của mục 1 trang 6,7
Mục 1 tập trung vào việc ôn tập và hệ thống hóa kiến thức về đạo hàm của hàm số. Cụ thể, các nội dung chính bao gồm:
- Định nghĩa đạo hàm: Ôn lại khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm và trên một khoảng.
- Các quy tắc tính đạo hàm: Hệ thống lại các quy tắc tính đạo hàm cơ bản như quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, và đạo hàm của hàm hợp.
- Đạo hàm của các hàm số thường gặp: Cung cấp công thức tính đạo hàm của các hàm số thường gặp như hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit.
- Ứng dụng của đạo hàm: Giới thiệu một số ứng dụng cơ bản của đạo hàm như tìm cực trị của hàm số, xét tính đơn điệu của hàm số.
Giải chi tiết các bài tập trong mục 1 trang 6,7
Dưới đây là lời giải chi tiết cho các bài tập trong mục 1 trang 6,7 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo:
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau
- f(x) = 3x2 - 5x + 2
- g(x) = sin(x) + cos(x)
- h(x) = ex + ln(x)
Lời giải:
- f'(x) = 6x - 5
- g'(x) = cos(x) - sin(x)
- h'(x) = ex + 1/x
Bài 2: Tìm đạo hàm của hàm số y = (x2 + 1) / (x - 1)
Lời giải:
Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của thương, ta có:
y' = [(x2 + 1)'(x - 1) - (x2 + 1)(x - 1)'] / (x - 1)2
y' = [2x(x - 1) - (x2 + 1)] / (x - 1)2
y' = (2x2 - 2x - x2 - 1) / (x - 1)2
y' = (x2 - 2x - 1) / (x - 1)2
Bài 3: Cho hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.
Lời giải:
f'(x) = 3x2 - 6x
Giải phương trình f'(x) = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2.
Xét dấu f'(x) trên các khoảng (-∞, 0), (0, 2), (2, +∞):
- Trên (-∞, 0), f'(x) > 0, hàm số đồng biến.
- Trên (0, 2), f'(x) < 0, hàm số nghịch biến.
- Trên (2, +∞), f'(x) > 0, hàm số đồng biến.
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0, f(0) = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2, f(2) = -2.
Lời khuyên khi học tập
Để học tốt môn Toán 12, đặc biệt là phần đạo hàm, các em cần:
- Nắm vững định nghĩa và các quy tắc tính đạo hàm.
- Luyện tập thường xuyên các bài tập để hiểu rõ phương pháp giải.
- Sử dụng các tài liệu tham khảo, sách bài tập để mở rộng kiến thức.
- Tìm kiếm sự giúp đỡ của giáo viên hoặc bạn bè khi gặp khó khăn.
Kết luận
Hy vọng với lời giải chi tiết và những lời khuyên trên, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về mục 1 trang 6,7 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo và đạt kết quả tốt trong học tập. Montoan.com.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục tri thức!
