THCS
THCS
Montoan.com.vn là địa chỉ tin cậy giúp học sinh giải các bài tập Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo một cách nhanh chóng và hiệu quả. Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho mục 4 trang 30, 31, 32, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Chúng tôi luôn cập nhật lời giải mới nhất, đảm bảo độ chính xác cao và phù hợp với nội dung SGK hiện hành.
Khảo sát hàm số \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}(a \ne 0,m \ne 0\), đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu)
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 32 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = x - \frac{1}{x}\)
b) \(y = - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}\)
c) \(y = \frac{{ - {x^2} - x + 2}}{{x + 1}}\)
Phương pháp giải:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số
− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.
− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số
− Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ
− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết:
a) \(y = x - \frac{1}{x}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \)
\(y' = 1 + \frac{1}{{{x^2}}} \ge 0\forall x \in D\) nên hàm số đồng biến trên D
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (x - \frac{1}{x}) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (x - \frac{1}{x}) = - \infty \)
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (1 - \frac{1}{{{x^2}}}) = 1;b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (x - \frac{1}{x} - x) = 0\) nên y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (x - \frac{1}{x}) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} (x - \frac{1}{x}) = + \infty \) nên x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow x - \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (1; 0)
b) \(y = - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ - 1\} \)
\(y' = - 1 + \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 0\end{array} \right.\)
Trên các khoảng (\( - \infty \); -2), (0; \( + \infty \)) thì y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (-2; -1) và (-1; 0) thì y' > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ( - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } ( - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}) = + \infty \)
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ( - 1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{{{x^2} + x}}) = - 1;b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ( - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}} + x) = 2\) nên y = -x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} ( - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} ( - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}) = + \infty \) nên x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Khi x = 0 thì y = 1 nên (0;1) là giao điểm của y với trục Oy
Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\\x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\)
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (\(\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\); 0) và (\(\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\);0)
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 32 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = x - \frac{1}{x}\)
b) \(y = - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}\)
c) \(y = \frac{{ - {x^2} - x + 2}}{{x + 1}}\)
Phương pháp giải:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số
− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.
− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số
− Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ
− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết:
a) \(y = x - \frac{1}{x}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \)
\(y' = 1 + \frac{1}{{{x^2}}} \ge 0\forall x \in D\) nên hàm số đồng biến trên D
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (x - \frac{1}{x}) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (x - \frac{1}{x}) = - \infty \)
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (1 - \frac{1}{{{x^2}}}) = 1;b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (x - \frac{1}{x} - x) = 0\) nên y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (x - \frac{1}{x}) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} (x - \frac{1}{x}) = + \infty \) nên x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow x - \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (1; 0)
b) \(y = - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ - 1\} \)
\(y' = - 1 + \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 0\end{array} \right.\)
Trên các khoảng (\( - \infty \); -2), (0; \( + \infty \)) thì y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (-2; -1) và (-1; 0) thì y' > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ( - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } ( - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}) = + \infty \)
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ( - 1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{{{x^2} + x}}) = - 1;b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ( - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}} + x) = 2\) nên y = -x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} ( - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} ( - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}) = + \infty \) nên x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Khi x = 0 thì y = 1 nên (0;1) là giao điểm của y với trục Oy
Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\\x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\)
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (\(\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\); 0) và (\(\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\);0)
Mục 4 của SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo tập trung vào việc nghiên cứu về giới hạn của hàm số. Đây là một khái niệm nền tảng quan trọng trong giải tích, đóng vai trò then chốt trong việc hiểu các khái niệm phức tạp hơn như đạo hàm và tích phân. Việc nắm vững kiến thức về giới hạn hàm số không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài tập trong SGK mà còn là bước đệm quan trọng cho việc học tập các môn khoa học kỹ thuật khác.
Mục 4 bao gồm các nội dung chính sau:
Trang 30 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo chứa các bài tập vận dụng kiến thức về khái niệm giới hạn của hàm số tại một điểm. Các bài tập này yêu cầu học sinh phải hiểu rõ định nghĩa giới hạn và các tính chất của giới hạn để có thể giải quyết một cách chính xác.
Ví dụ, bài tập 1 yêu cầu tính giới hạn của hàm số f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) khi x tiến tới 1. Để giải bài tập này, ta có thể phân tích tử số thành nhân tử và rút gọn biểu thức, sau đó thay x = 1 vào biểu thức rút gọn để tìm giới hạn.
Trang 31 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo tập trung vào các bài tập về giới hạn của hàm số tại vô cùng. Các bài tập này yêu cầu học sinh phải nắm vững các quy tắc tính giới hạn của các hàm số đa thức, hàm số phân thức khi x tiến tới vô cùng.
Ví dụ, bài tập 2 yêu cầu tính giới hạn của hàm số f(x) = (2x^2 + 1)/(x^2 + 3) khi x tiến tới vô cùng. Để giải bài tập này, ta có thể chia cả tử số và mẫu số cho x^2, sau đó tính giới hạn của biểu thức thu được.
Trang 32 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo chứa các bài tập tổng hợp về giới hạn hàm số, bao gồm cả giới hạn tại một điểm và giới hạn tại vô cùng. Các bài tập này yêu cầu học sinh phải vận dụng linh hoạt các kiến thức và kỹ năng đã học để giải quyết một cách hiệu quả.
Ví dụ, bài tập 3 yêu cầu tìm giới hạn của hàm số f(x) = (sin x)/x khi x tiến tới 0. Đây là một giới hạn lượng giác đặc biệt, có thể giải bằng cách sử dụng định lý giới hạn của sin x/x khi x tiến tới 0.
Việc giải mục 4 trang 30,31,32 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về khái niệm giới hạn hàm số và khả năng vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và những lời khuyên hữu ích trên đây, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập và đạt được kết quả tốt nhất.
