Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân

Bài 3 trong chương trình Toán 12 tập 2, sách Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc ứng dụng tích phân để giải quyết các bài toán về diện tích hình phẳng và thể tích vật thể. Đây là một phần quan trọng, kết nối lý thuyết tích phân với các ứng dụng thực tế trong hình học.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Diện tích hình phẳng: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức: ∫_a^b |f(x)| dx.
Thể tích vật thể tròn xoay:
- Phương pháp đĩa: Nếu vật thể tròn xoay được tạo ra bằng cách quay miền phẳng giới hạn bởi y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox thì thể tích V được tính bằng: V = π ∫_a^b [f(x)]² dx.
- Phương pháp vỏ: Nếu vật thể tròn xoay được tạo ra bằng cách quay miền phẳng giới hạn bởi x = g(y), trục Oy và hai đường thẳng y = c, y = d quanh trục Oy thì thể tích V được tính bằng: V = 2π ∫_c^d g(y) dy.

II. Các dạng bài tập thường gặp

Tính diện tích hình phẳng: Các bài toán yêu cầu tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong, đường thẳng. Cần xác định chính xác các điểm giao nhau để chia miền tích phân phù hợp.
Tính thể tích vật thể tròn xoay: Các bài toán yêu cầu tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay một miền phẳng quanh một trục. Cần lựa chọn phương pháp đĩa hoặc phương pháp vỏ phù hợp với từng bài toán.
Bài toán ứng dụng thực tế: Các bài toán liên quan đến việc tính diện tích bề mặt, thể tích các vật thể trong thực tế, ví dụ như tính diện tích mặt nước hồ, thể tích thùng chứa,...

III. Phương pháp giải bài tập

Xác định miền tích phân: Vẽ hình minh họa, xác định chính xác các đường giới hạn của miền tích phân.
Chọn phương pháp tích phân: Lựa chọn phương pháp tích phân phù hợp với từng bài toán (tích phân trực tiếp, tích phân từng phần, đổi biến số,...).
Tính tích phân: Thực hiện tính tích phân và thay các giá trị cận để tìm ra kết quả.
Kiểm tra kết quả: Kiểm tra lại kết quả bằng cách ước lượng hoặc sử dụng các phương pháp khác để đảm bảo tính chính xác.

IV. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x² và đường thẳng y = 4.

Giải:

Các điểm giao nhau của đường cong và đường thẳng là x = -2 và x = 2. Diện tích hình phẳng là:

∫_-2² (4 - x²) dx = [4x - (x³/3)]_-2² = (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 16 - 16/3 = 32/3

Ví dụ 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay miền phẳng giới hạn bởi y = √x, trục Ox và x = 4 quanh trục Ox.

Giải:

Sử dụng phương pháp đĩa, thể tích vật thể là:

V = π ∫₀⁴ (√x)² dx = π ∫₀⁴ x dx = π [x²/2]₀⁴ = π (16/2) = 8π

V. Luyện tập

Để nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập về ứng dụng hình học của tích phân, các em nên luyện tập thêm các bài tập trong sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo khác. montoan.com.vn cung cấp nhiều bài tập luyện tập với các mức độ khó khác nhau để các em có thể rèn luyện và nâng cao khả năng giải toán của mình.

VI. Kết luận

Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững lý thuyết và phương pháp giải bài tập sẽ giúp các em giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao!