THCS
THCS
Montoan.com.vn là địa chỉ tin cậy giúp học sinh giải các bài tập Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo một cách nhanh chóng và hiệu quả. Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Bài giải này được biên soạn bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, đảm bảo tính chính xác và phù hợp với chương trình học.
Tính diện tích hình phẳng
Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 22 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = 2x - {x^2}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 3\).
Phương pháp giải:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và các đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = 2x - {x^2}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 3\) là \(S = \int\limits_0^3 {\left| {2x - {x^2}} \right|dx} \)
Ta có \(2x - {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\).
Với \(x \in \left[ {0;2} \right]\) thì \(2x - {x^2} \ge 0\). Với \(x \in \left[ {2;3} \right]\) thì \(2x - {x^2} \le 0\).
Vậy \(S = \int\limits_0^3 {\left| {2x - {x^2}} \right|dx} = \int\limits_0^2 {\left( {2x - {x^2}} \right)dx} + \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} \)
\( = \left. {\left( {{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)} \right|_2^3 = \left( {\frac{4}{3} - 0} \right) + \left[ {0 - \left( { - \frac{4}{3}} \right)} \right] = \frac{8}{3}\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 22 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = \cos x - 2\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = \pi \).
Phương pháp giải:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và các đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = \cos x - 2\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = \pi \) là \(S = \int\limits_0^\pi {\left| {\cos x - 2} \right|dx} \).
Do \(\cos x - 2 < 0\) với \(\forall x \in \left[ {0;\pi } \right]\).
Do đó \(S = \int\limits_0^\pi {\left( {2 - \cos x} \right)dx} = \left. {\left( {2x - \sin x} \right)} \right|_0^\pi = 2\pi - 0 = 2\pi \).
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 24 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = {x^2} - 2x - 1\), \(y = x - 1\) và hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = 4\).
Phương pháp giải:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \({f_1}\left( x \right)\) và \({f_2}\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right|dx} \)
Lời giải chi tiết:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = {x^2} - 2x - 1\), \(y = x - 1\) và hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = 4\) là:
\(S = \int\limits_1^4 {\left| {\left( {{x^2} - 2x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right)} \right|dx} = \int\limits_1^4 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx} \)
Ta có \({x^2} - 3x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 3\)
Do đó
\(S = \int\limits_1^3 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx} + \int\limits_3^4 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx} = \left| {\int\limits_1^3 {\left( {{x^2} - 3x} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_3^4 {\left( {{x^2} - 3x} \right)dx} } \right|\)
\( = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 3\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^3} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 3\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_3^4} \right| = \left| {\frac{{ - 9}}{2} - \frac{{ - 7}}{6}} \right| + \left| {\frac{{ - 8}}{3} - \frac{{ - 9}}{2}} \right| = \left| { - \frac{{10}}{3}} \right| + \left| {\frac{{11}}{6}} \right| = \frac{{31}}{6}\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 24 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = 5x - {x^2}\), \(y = {x^2} - x\) và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\).
Phương pháp giải:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \({f_1}\left( x \right)\) và \({f_2}\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right|dx} \)
Lời giải chi tiết:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = 5x - {x^2}\), \(y = {x^2} - x\) và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là
\(S = \int\limits_0^2 {\left| {\left( {5x - {x^2}} \right) - \left( {{x^2} - x} \right)} \right|dx} = \int\limits_0^2 {\left| {6x - 2{x^2}} \right|dx} = 2\int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx} \)
Ta có \({x^2} - 3x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 3\)
Do đó \(S = \left| {\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 3x} \right)dx} } \right| = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 3\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2} \right| = \left| { - \frac{{10}}{3}} \right| = \frac{{10}}{3}\)
Trả lời câu hỏi Khám phá 1 trang 21 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Gọi \(d\) là đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right) = 6 - 2x\). Kí hiệu \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(d\), trục hoành và trục tung; \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(d\), trục hoành và đường thẳng \(x = 5\) (Hình 1).
a) Tính \({S_1}\) và so sánh với \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \).
b) Tính \({S_2}\) và so sánh với \(\int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx} \).
c) So sánh \(\int\limits_0^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \) với \({S_1} + {S_2}\).
Phương pháp giải:
a) Theo hình vẽ, \({S_1}\) là diện tích tam giác \(OAB\). Tính diện tích tam giác \(OAB\), sau đó tính tích phân \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \) và so sánh các kết quả thu được.
b) Theo hình vẽ. \({S_2}\) là diện tích tam giác \(CBM\). Tính diện tích tam giác \(CBM\), sau đó tính tích phân \(\int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx} \) và so sánh các kết quả thu được.
c) Tính \(\int\limits_0^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_0^3 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_3^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \), sau đó phá dấu giá trị tuyệt đối và tính các tích phân cơ bản, sau đó so sánh kết quả thu được với \({S_1} + {S_2}\).
Lời giải chi tiết:
a) Tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\), ta có \(OA = 6\), \(OB = 3\). Diện tích tam giác \(OAB\) là:
\({S_1} = \frac{{OA.OB}}{2} = \frac{{6.3}}{2} = 9\).
Ta có \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^3 {\left( {6 - 2x} \right)dx} = \left. {\left( {6x - {x^2}} \right)} \right|_0^3 = 9 - 0 = 9\).
Như vậy \({S_1} = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \)
b) Tam giác \(CBM\) vuông tại \(M\), ta có \(MB = 2\), \(MC = 4\). Diện tích tam giác \(CBM\) là:
\({S_2} = \frac{{MB.MC}}{2} = \frac{{2.4}}{2} = 4\).
Ta có \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_3^5 {\left( {6 - 2x} \right)dx} = \left. {\left( {6x - {x^2}} \right)} \right|_3^5 = 5 - 9 = - 4\).
Như vậy \({S_2} = - \int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx} \)
c) Ta có:
\(\int\limits_0^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_0^5 {\left| {6 - 2x} \right|dx} = \int\limits_0^3 {\left| {6 - 2x} \right|dx} + \int\limits_3^5 {\left| {6 - 2x} \right|dx} = \int\limits_0^3 {\left( {6 - 2x} \right)dx} + \int\limits_3^5 {\left( {2x - 6} \right)dx} \)
\( = \left. {\left( {6x - {x^2}} \right)} \right|_0^3 + \left. {\left( {{x^2} - 6x} \right)} \right|_3^5 = \left( {9 - 0} \right) + \left[ {\left( { - 5} \right) - \left( { - 9} \right)} \right] = 13\)
Như vậy \(\int\limits_0^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = 13 = {S_1} + {S_2}\).
Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 23 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai hàm số \(y = 4x - {x^2}\) và \(y = x\) lần lượt có đồ thị \(\left( P \right)\) và \(d\) như hình 4.
a) Tính diện tích \({S_1}\) của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\).
b) Tính diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), \(d\) và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\).
Phương pháp giải:
a) Diện tích \({S_1}\) của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \({S_1} = \int\limits_0^2 {\left| {4x - {x^2}} \right|dx} \)
b) Diện tích \({S_2}\) của hình phẳng giới hạn bởi \(d\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \({S_2} = \int\limits_0^2 {\left| x \right|dx} \).
Suy ra diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), \(d\) và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \(S = {S_1} - {S_2}\).
Lời giải chi tiết:
Diện tích \({S_1}\) của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \({S_1} = \int\limits_0^2 {\left| {4x - {x^2}} \right|dx} \)
Ta thấy rằng với \(\forall x \in \left[ {0;2} \right]\) thì \(4x - {x^2} \ge 0\), do đó:
\({S_1} = \int\limits_0^2 {\left( {4x - {x^2}} \right)dx} = \left. {\left( {2{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 = \frac{{16}}{3}\)
b) Diện tích \({S_2}\) của hình phẳng giới hạn bởi \(d\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \({S_2} = \int\limits_0^2 {\left| x \right|dx} \).
Ta thấy rằng với \(\forall x \in \left[ {0;2} \right]\) thì \(x \ge 0\), do đó:
\({S_2} = \int\limits_0^2 {xdx} = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2 = 2\)
Vậy diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), \(d\) và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \(S = {S_1} - {S_2} = \frac{{16}}{3} - 2 = \frac{{10}}{3}\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1trang 24 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Mặt cắt của một cửa hầm có dạng là hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng nằm ngang như hình 7. Tính diện tích của cửa hầm.
Phương pháp giải:
Ta ghép mặt cắt của cửa hầm vào mặt phẳng \(Oxy\) như hình vẽ dưới đây.
Diện tích của cửa hầm chính là diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi parabol \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\) và \(x = 6\).
Để tính được diện tích của cửa hầm, ta xác định phương trình của parabol \(y = f\left( x \right)\) như trong hình, sau đó tính tích phân \(S = \int\limits_0^6 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
Ta ghép mặt cắt của cửa hầm vào mặt phẳng \(Oxy\) như hình vẽ dưới đây. Diện tích của cửa hầm chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 6\).
Ta nhận thấy rằng parabol đi qua các điểm có toạ độ \(\left( {0;0} \right)\), \(\left( {6;0} \right)\) và \(\left( {3;6} \right)\) (trục đối xứng của parabol đi qua đỉnh), do đó ta có hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a{{.0}^2} + b.0 + c = 0}\\{a{{.6}^2} + b.6 + c = 0}\\{a{{.3}^2} + b.3 + c = 6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = 0}\\{36a + 6b + c = 0}\\{9a + 3b + c = 6}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - \frac{2}{3}}\\{b = 4}\\{c = 0}\end{array}} \right.} \right.\)
Vậy phương trình của parabol là \(y = - \frac{2}{3}{x^2} + 4x\).
Ta thấy rằng với \(x \in \left[ {0;6} \right]\) thì parabol nằm trên trục hoành. Do đó, diện tích của cửa hầm, cũng chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = - \frac{2}{3}{x^2} + 4x\), trục hoành và các đường thẳng \(x = 0\), \(x = 6\) là:
\(S = \int\limits_0^6 {\left| { - \frac{2}{3}{x^2} + 4x} \right|dx} = \int\limits_0^6 {\left( { - \frac{2}{3}{x^2} + 4x} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{ - 2}}{9}{x^3} + 2{x^2}} \right)} \right|_0^6 = 24\)
Vậy diện tích của cửa hầm là 24 \({{\rm{m}}^2}\).
Trả lời câu hỏi Khám phá 1 trang 21 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Gọi \(d\) là đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right) = 6 - 2x\). Kí hiệu \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(d\), trục hoành và trục tung; \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(d\), trục hoành và đường thẳng \(x = 5\) (Hình 1).
a) Tính \({S_1}\) và so sánh với \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \).
b) Tính \({S_2}\) và so sánh với \(\int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx} \).
c) So sánh \(\int\limits_0^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \) với \({S_1} + {S_2}\).
Phương pháp giải:
a) Theo hình vẽ, \({S_1}\) là diện tích tam giác \(OAB\). Tính diện tích tam giác \(OAB\), sau đó tính tích phân \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \) và so sánh các kết quả thu được.
b) Theo hình vẽ. \({S_2}\) là diện tích tam giác \(CBM\). Tính diện tích tam giác \(CBM\), sau đó tính tích phân \(\int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx} \) và so sánh các kết quả thu được.
c) Tính \(\int\limits_0^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_0^3 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_3^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \), sau đó phá dấu giá trị tuyệt đối và tính các tích phân cơ bản, sau đó so sánh kết quả thu được với \({S_1} + {S_2}\).
Lời giải chi tiết:
a) Tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\), ta có \(OA = 6\), \(OB = 3\). Diện tích tam giác \(OAB\) là:
\({S_1} = \frac{{OA.OB}}{2} = \frac{{6.3}}{2} = 9\).
Ta có \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^3 {\left( {6 - 2x} \right)dx} = \left. {\left( {6x - {x^2}} \right)} \right|_0^3 = 9 - 0 = 9\).
Như vậy \({S_1} = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \)
b) Tam giác \(CBM\) vuông tại \(M\), ta có \(MB = 2\), \(MC = 4\). Diện tích tam giác \(CBM\) là:
\({S_2} = \frac{{MB.MC}}{2} = \frac{{2.4}}{2} = 4\).
Ta có \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_3^5 {\left( {6 - 2x} \right)dx} = \left. {\left( {6x - {x^2}} \right)} \right|_3^5 = 5 - 9 = - 4\).
Như vậy \({S_2} = - \int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx} \)
c) Ta có:
\(\int\limits_0^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_0^5 {\left| {6 - 2x} \right|dx} = \int\limits_0^3 {\left| {6 - 2x} \right|dx} + \int\limits_3^5 {\left| {6 - 2x} \right|dx} = \int\limits_0^3 {\left( {6 - 2x} \right)dx} + \int\limits_3^5 {\left( {2x - 6} \right)dx} \)
\( = \left. {\left( {6x - {x^2}} \right)} \right|_0^3 + \left. {\left( {{x^2} - 6x} \right)} \right|_3^5 = \left( {9 - 0} \right) + \left[ {\left( { - 5} \right) - \left( { - 9} \right)} \right] = 13\)
Như vậy \(\int\limits_0^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = 13 = {S_1} + {S_2}\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 22 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = 2x - {x^2}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 3\).
Phương pháp giải:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và các đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = 2x - {x^2}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 3\) là \(S = \int\limits_0^3 {\left| {2x - {x^2}} \right|dx} \)
Ta có \(2x - {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\).
Với \(x \in \left[ {0;2} \right]\) thì \(2x - {x^2} \ge 0\). Với \(x \in \left[ {2;3} \right]\) thì \(2x - {x^2} \le 0\).
Vậy \(S = \int\limits_0^3 {\left| {2x - {x^2}} \right|dx} = \int\limits_0^2 {\left( {2x - {x^2}} \right)dx} + \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} \)
\( = \left. {\left( {{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)} \right|_2^3 = \left( {\frac{4}{3} - 0} \right) + \left[ {0 - \left( { - \frac{4}{3}} \right)} \right] = \frac{8}{3}\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 22 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = \cos x - 2\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = \pi \).
Phương pháp giải:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và các đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = \cos x - 2\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = \pi \) là \(S = \int\limits_0^\pi {\left| {\cos x - 2} \right|dx} \).
Do \(\cos x - 2 < 0\) với \(\forall x \in \left[ {0;\pi } \right]\).
Do đó \(S = \int\limits_0^\pi {\left( {2 - \cos x} \right)dx} = \left. {\left( {2x - \sin x} \right)} \right|_0^\pi = 2\pi - 0 = 2\pi \).
Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 23 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai hàm số \(y = 4x - {x^2}\) và \(y = x\) lần lượt có đồ thị \(\left( P \right)\) và \(d\) như hình 4.
a) Tính diện tích \({S_1}\) của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\).
b) Tính diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), \(d\) và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\).
Phương pháp giải:
a) Diện tích \({S_1}\) của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \({S_1} = \int\limits_0^2 {\left| {4x - {x^2}} \right|dx} \)
b) Diện tích \({S_2}\) của hình phẳng giới hạn bởi \(d\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \({S_2} = \int\limits_0^2 {\left| x \right|dx} \).
Suy ra diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), \(d\) và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \(S = {S_1} - {S_2}\).
Lời giải chi tiết:
Diện tích \({S_1}\) của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \({S_1} = \int\limits_0^2 {\left| {4x - {x^2}} \right|dx} \)
Ta thấy rằng với \(\forall x \in \left[ {0;2} \right]\) thì \(4x - {x^2} \ge 0\), do đó:
\({S_1} = \int\limits_0^2 {\left( {4x - {x^2}} \right)dx} = \left. {\left( {2{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 = \frac{{16}}{3}\)
b) Diện tích \({S_2}\) của hình phẳng giới hạn bởi \(d\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \({S_2} = \int\limits_0^2 {\left| x \right|dx} \).
Ta thấy rằng với \(\forall x \in \left[ {0;2} \right]\) thì \(x \ge 0\), do đó:
\({S_2} = \int\limits_0^2 {xdx} = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2 = 2\)
Vậy diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), \(d\) và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là \(S = {S_1} - {S_2} = \frac{{16}}{3} - 2 = \frac{{10}}{3}\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 24 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = {x^2} - 2x - 1\), \(y = x - 1\) và hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = 4\).
Phương pháp giải:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \({f_1}\left( x \right)\) và \({f_2}\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right|dx} \)
Lời giải chi tiết:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = {x^2} - 2x - 1\), \(y = x - 1\) và hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = 4\) là:
\(S = \int\limits_1^4 {\left| {\left( {{x^2} - 2x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right)} \right|dx} = \int\limits_1^4 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx} \)
Ta có \({x^2} - 3x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 3\)
Do đó
\(S = \int\limits_1^3 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx} + \int\limits_3^4 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx} = \left| {\int\limits_1^3 {\left( {{x^2} - 3x} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_3^4 {\left( {{x^2} - 3x} \right)dx} } \right|\)
\( = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 3\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^3} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 3\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_3^4} \right| = \left| {\frac{{ - 9}}{2} - \frac{{ - 7}}{6}} \right| + \left| {\frac{{ - 8}}{3} - \frac{{ - 9}}{2}} \right| = \left| { - \frac{{10}}{3}} \right| + \left| {\frac{{11}}{6}} \right| = \frac{{31}}{6}\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 24 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = 5x - {x^2}\), \(y = {x^2} - x\) và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\).
Phương pháp giải:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \({f_1}\left( x \right)\) và \({f_2}\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right|dx} \)
Lời giải chi tiết:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = 5x - {x^2}\), \(y = {x^2} - x\) và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) là
\(S = \int\limits_0^2 {\left| {\left( {5x - {x^2}} \right) - \left( {{x^2} - x} \right)} \right|dx} = \int\limits_0^2 {\left| {6x - 2{x^2}} \right|dx} = 2\int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx} \)
Ta có \({x^2} - 3x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 3\)
Do đó \(S = \left| {\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 3x} \right)dx} } \right| = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 3\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2} \right| = \left| { - \frac{{10}}{3}} \right| = \frac{{10}}{3}\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1trang 24 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Mặt cắt của một cửa hầm có dạng là hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng nằm ngang như hình 7. Tính diện tích của cửa hầm.
Phương pháp giải:
Ta ghép mặt cắt của cửa hầm vào mặt phẳng \(Oxy\) như hình vẽ dưới đây.
Diện tích của cửa hầm chính là diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi parabol \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\) và \(x = 6\).
Để tính được diện tích của cửa hầm, ta xác định phương trình của parabol \(y = f\left( x \right)\) như trong hình, sau đó tính tích phân \(S = \int\limits_0^6 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).
Lời giải chi tiết:
Ta ghép mặt cắt của cửa hầm vào mặt phẳng \(Oxy\) như hình vẽ dưới đây. Diện tích của cửa hầm chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 6\).
Ta nhận thấy rằng parabol đi qua các điểm có toạ độ \(\left( {0;0} \right)\), \(\left( {6;0} \right)\) và \(\left( {3;6} \right)\) (trục đối xứng của parabol đi qua đỉnh), do đó ta có hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a{{.0}^2} + b.0 + c = 0}\\{a{{.6}^2} + b.6 + c = 0}\\{a{{.3}^2} + b.3 + c = 6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = 0}\\{36a + 6b + c = 0}\\{9a + 3b + c = 6}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - \frac{2}{3}}\\{b = 4}\\{c = 0}\end{array}} \right.} \right.\)
Vậy phương trình của parabol là \(y = - \frac{2}{3}{x^2} + 4x\).
Ta thấy rằng với \(x \in \left[ {0;6} \right]\) thì parabol nằm trên trục hoành. Do đó, diện tích của cửa hầm, cũng chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = - \frac{2}{3}{x^2} + 4x\), trục hoành và các đường thẳng \(x = 0\), \(x = 6\) là:
\(S = \int\limits_0^6 {\left| { - \frac{2}{3}{x^2} + 4x} \right|dx} = \int\limits_0^6 {\left( { - \frac{2}{3}{x^2} + 4x} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{ - 2}}{9}{x^3} + 2{x^2}} \right)} \right|_0^6 = 24\)
Vậy diện tích của cửa hầm là 24 \({{\rm{m}}^2}\).
Mục 1 của chương trình Toán 12 tập 2 Chân trời sáng tạo thường tập trung vào các kiến thức về đạo hàm của hàm số. Nội dung này đóng vai trò nền tảng cho việc giải quyết các bài toán tối ưu, khảo sát hàm số và nhiều ứng dụng thực tế khác. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập trong mục này là vô cùng quan trọng đối với học sinh.
Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp để tính đạo hàm của các hàm số phức tạp. Cần xác định đúng hàm trong và hàm ngoài để áp dụng quy tắc một cách chính xác. Ví dụ, cho hàm số y = sin(x^2 + 1), đạo hàm của y sẽ là y' = cos(x^2 + 1) * 2x.
Bài tập này tập trung vào việc tính đạo hàm của các hàm số lượng giác cơ bản như sin, cos, tan, cot. Học sinh cần nhớ các công thức đạo hàm lượng giác và áp dụng chúng một cách linh hoạt. Ví dụ, đạo hàm của sin(x) là cos(x), đạo hàm của cos(x) là -sin(x).
Bài tập này yêu cầu học sinh tính đạo hàm của các hàm mũ và hàm logarit. Cần nắm vững các công thức đạo hàm của hàm mũ và hàm logarit, đồng thời chú ý đến cơ số và số mũ. Ví dụ, đạo hàm của e^x là e^x, đạo hàm của ln(x) là 1/x.
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số y = x^3 - 2x^2 + 5x - 1.
Giải:
y' = 3x^2 - 4x + 5
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số y = sin(2x + 1).
Giải:
y' = cos(2x + 1) * 2 = 2cos(2x + 1)
Việc giải các bài tập trong mục 1 trang 21, 22, 23 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo đòi hỏi sự nắm vững kiến thức về đạo hàm và khả năng áp dụng các quy tắc đạo hàm một cách linh hoạt. Hy vọng với những hướng dẫn và ví dụ minh họa trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài tập này và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
