Chương 4. Nguyên hàm. Tích phân

Chương 4: Nguyên hàm - Tích phân - Toán 12 Chân trời sáng tạo

Chương 4 của sách Toán 12 Chân trời sáng tạo tập 2 tập trung vào hai khái niệm cốt lõi: nguyên hàm và tích phân. Đây là những kiến thức nền tảng cho việc giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến diện tích, thể tích, và nhiều ứng dụng khác trong khoa học và kỹ thuật.

1. Nguyên hàm

Nguyên hàm của một hàm số f(x) là một hàm số F(x) sao cho đạo hàm của F(x) bằng f(x), tức là F'(x) = f(x). Việc tìm nguyên hàm là một bài toán quan trọng trong giải tích, và có nhiều phương pháp để giải quyết nó.

• Định nghĩa nguyên hàm: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng I nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc I.
• Tính chất của nguyên hàm: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x), với C là một hằng số bất kỳ.
• Các nguyên hàm cơ bản: Việc nắm vững các nguyên hàm cơ bản của các hàm số thường gặp như xⁿ, sinx, cosx, e^x,... là rất quan trọng.

2. Tích phân bất định

Tích phân bất định của một hàm số f(x) là tập hợp tất cả các nguyên hàm của f(x). Ký hiệu tích phân bất định của f(x) là ∫f(x)dx.

Ví dụ: ∫x²dx = (x³/3) + C, với C là hằng số tích phân.

3. Tích phân xác định

Tích phân xác định của một hàm số f(x) trên đoạn [a, b] là một số thực, được ký hiệu là ∫_a^bf(x)dx. Nó biểu diễn diện tích có dấu giữa đồ thị của hàm số f(x), trục hoành, và hai đường thẳng x = a và x = b.

Định lý cơ bản của tích phân: ∫_a^bf(x)dx = F(b) - F(a), trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x).

4. Các phương pháp tính tích phân

Có nhiều phương pháp để tính tích phân, bao gồm:

• Phương pháp đổi biến số: Sử dụng để đơn giản hóa tích phân bằng cách thay đổi biến số.
• Phương pháp tích phân từng phần: Sử dụng để tính tích phân của tích hai hàm số.
• Phương pháp phân tích thành nhân tử: Sử dụng để phân tích biểu thức dưới dấu tích phân thành các nhân tử đơn giản hơn.

5. Ứng dụng của tích phân

Tích phân có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm:

• Tính diện tích: Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi các đường cong.
• Tính thể tích: Tính thể tích của các vật thể tròn xoay.
• Tính độ dài đường cong: Tính độ dài của một đường cong.
• Tính công thực hiện bởi một lực: Tính công thực hiện bởi một lực khi vật di chuyển trên một quãng đường.

Bài tập minh họa

Bài 1: Tính ∫(2x + 1)dx

Giải: ∫(2x + 1)dx = x² + x + C

Bài 2: Tính ∫₀¹x²dx

Giải: ∫₀¹x²dx = [x³/3]₀¹ = (1³/3) - (0³/3) = 1/3

Lời khuyên khi học chương 4

1. Nắm vững định nghĩa và tính chất của nguyên hàm và tích phân.
2. Luyện tập thường xuyên các bài tập để làm quen với các phương pháp tính tích phân.
3. Hiểu rõ các ứng dụng của tích phân trong thực tế.
4. Sử dụng các tài liệu tham khảo và công cụ hỗ trợ học tập để nâng cao kiến thức.

Hy vọng rằng với những kiến thức và hướng dẫn trên, bạn sẽ học tốt chương 4: Nguyên hàm - Tích phân của môn Toán 12 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn thành công!