THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Tích phân trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo. Đây là một trong những chủ đề quan trọng và thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và chi tiết về các khái niệm, định lý và công thức liên quan đến tích phân.
montoan.com.vn cam kết mang đến cho bạn những bài giảng chất lượng, dễ hiểu và nhiều bài tập thực hành để bạn có thể nắm vững kiến thức một cách hiệu quả nhất.
1. Diện tích hình thang cong
1. Diện tích hình thang cong
| Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\), thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là S = F(b) – F(a), trong đó F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \(\left[ {a;b} \right]\). |
2. Khái niệm tích phân
| Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là \(\int\limits_a^b {f(x)dx} \). |
Chú ý:
a) Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước
\(\)\(\int\limits_a^a {f(x)dx = 0} \) và \(\int\limits_a^b {f(x)dx} = - \int\limits_b^a {f(x)dx} \)
b) Người ta chứng minh được, tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm số f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t, nghĩa là \(\int\limits_a^b {f(x)dx = \int\limits_a^b {f(t)dt} } \)
c) Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\), thì tích phân \(\int\limits_a^b {f(x)dx} \) là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b
3. Tính chất của tích phân
+ \(\int\limits_a^b {kf(x)dx = k\int\limits_a^b {f(x)dx} } \) (k là hằng số) + \(\int\limits_a^b {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int\limits_a^b {f(x)dx + \int\limits_a^b {g(x)dx} } \) + \(\int\limits_a^b {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx = \int\limits_a^b {f(x)dx - \int\limits_a^b {g(x)dx} } \) + \(\int\limits_a^b {f(x)dx = \int\limits_a^c {f(x)dx + \int\limits_c^b {f(x)dx} } } \) (a < c < b) |
Tích phân là một khái niệm cơ bản trong giải tích, đóng vai trò quan trọng trong việc tính diện tích, thể tích và nhiều ứng dụng khác trong khoa học và kỹ thuật. Trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo, tích phân được trình bày một cách hệ thống và logic, giúp học sinh dễ dàng tiếp cận và nắm vững kiến thức.
Nguyên hàm của một hàm số f(x) trên một khoảng I là một hàm số F(x) sao cho F'(x) = f(x) với mọi x thuộc I. Ký hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C, trong đó C là hằng số tích phân.
Tích phân bất định của hàm số f(x) là tập hợp tất cả các nguyên hàm của f(x). Nói cách khác, tích phân bất định là một họ các hàm số sai khác nhau một hằng số.
Tích phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a, b] là một số thực, được ký hiệu là ∫ab f(x)dx. Tích phân xác định biểu thị diện tích có dấu giữa đồ thị hàm số f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b.
Tích phân có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khác nhau:
Ví dụ 1: Tính ∫(x2 + 1)dx
Giải: ∫(x2 + 1)dx = ∫x2dx + ∫1dx = (x3/3) + x + C
Ví dụ 2: Tính ∫01 x2dx
Giải: ∫01 x2dx = [x3/3]01 = (13/3) - (03/3) = 1/3
Để củng cố kiến thức về tích phân, bạn có thể thực hành các bài tập sau:
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết Tích phân Toán 12 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!
