Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Đường tiệm cận là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán 12, đặc biệt trong việc khảo sát hàm số. Hiểu rõ về đường tiệm cận giúp chúng ta vẽ được đồ thị hàm số chính xác hơn và phân tích được các tính chất của hàm số.

I. Khái niệm đường tiệm cận

Đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) là đường thẳng mà đồ thị của hàm số tiếp cận khi x hoặc y tiến tới vô cùng.

• Tiệm cận đứng: Đường thẳng x = a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→a⁺ f(x) = ±∞ hoặc lim_x→a^- f(x) = ±∞.
• Tiệm cận ngang: Đường thẳng y = b là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→+∞ f(x) = b hoặc lim_x→-∞ f(x) = b.
• Tiệm cận xiên: Đường thẳng y = ax + b (với a ≠ 0) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→+∞ [f(x) - (ax + b)] / x = 0 hoặc lim_x→-∞ [f(x) - (ax + b)] / x = 0.

II. Phương pháp tìm đường tiệm cận

Để tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định tập xác định của hàm số.
2. Tính các giới hạn vô cùng của hàm số.
3. Dựa vào các giới hạn này để xác định các đường tiệm cận.

III. Ví dụ minh họa

Xét hàm số y = (2x + 1) / (x - 1).

• Tiệm cận đứng: x = 1 (vì lim_x→1⁺ y = +∞ và lim_x→1^- y = -∞).
• Tiệm cận ngang: y = 2 (vì lim_x→+∞ y = 2 và lim_x→-∞ y = 2).
• Tiệm cận xiên: Không có (vì không có giới hạn vô cùng của dạng ax + b).

IV. Bài tập vận dụng

Hãy tìm đường tiệm cận của các hàm số sau:

• y = (x + 2) / (x - 3)
• y = (3x² + 1) / (x² - 4)
• y = (x³) / (x² + 1)

V. Lưu ý quan trọng

Khi tìm đường tiệm cận, cần chú ý đến tập xác định của hàm số và các giới hạn vô cùng. Ngoài ra, cần phân biệt rõ giữa tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong các kỳ thi!