THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài tập 2 trang 24 SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu, kèm theo các bước giải chi tiết, giúp các em nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau: a) (y = frac{{{x^2} + 2}}{{2x - 3}}) b) (y = frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}}) c) (y = frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}})
Đề bài
Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau:
a) \(y = \frac{{{x^2} + 2}}{{2x - 3}}\)
b) \(y = \frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}}\)
c) \(y = \frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Đường thẳng x = a được gọi là một đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thoả mãn: \(\mathop {\lim f(x) = }\limits_{x \to {a^ - }} + \infty ,\mathop {\lim f(x) = }\limits_{x \to {a^ + }} + \infty ,\mathop {\lim f(x) = }\limits_{x \to {a^ - }} - \infty ,\mathop {\lim f(x) = }\limits_{x \to {a^ + }} - \infty \)
- Đường thẳng y = ax + b, a ≠ 0, được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } [f(x) - (ax + b)] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [f(x) - (ax + b)] = 0\)
Lời giải chi tiết
a) Xét \(y = \frac{{{x^2} + 2}}{{2x - 4}}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {2} \right\}\)
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{2}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{2}^ + }} \frac{{{x^2} + 2}}{{2x - 4}} = + \infty \). \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{2}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{2}^ - }} \frac{{{x^2} + 2}}{{2x - 4}} = - \infty \).
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{1}{2}x + 1 + \frac{6}{{2x - 4}} - \left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{6}{{2x - 4}} = 0.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {\frac{1}{2}x + 1 + \frac{6}{{2x - 4}} - \left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{6}{{2x - 4}} = 0.\)
Vậy \(x = 2\) là tiệm cận đứng, \(y = \frac{1}{2}x + 1\) là tiệm cận xiên của đồ thị.
b) Xét \(y = \frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\)
Ta có:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}} = - \infty \)
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{{x^2} + 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 - \frac{3}{x} - \frac{6}{{{x^2}}}}}{{1 + \frac{2}{x}}} = 2\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (y - ax) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (\frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}} - 2x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 7x - 6}}{{x + 2}} = \frac{{ - 7 - \frac{6}{x}}}{{1 + \frac{2}{x}}} = - 7\)
Vậy đường thẳng x = -2 và y = \(2x - 7\) lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
c) Xét \(y = \frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{5}{2}} \right\}\)
Ta có:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{5}{2}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{5}{2}}^ + }} \frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}} = + \infty \). \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{5}{2}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{5}{2}}^ - }} \frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}} = - \infty \).
\(y = \frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}} = x + 2 + \frac{1}{{2x + 5}}\).
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x + 2 + \frac{1}{{2x + 5}} - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{2x + 5}} = 0.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {x + 2 + \frac{1}{{2x + 5}} - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{2x + 5}} = 0.\)
Vậy đồ thị có tiệm cận đứng là \(x = - \frac{5}{2}\), tiệm cận xiên là \(y = x + 2.\)
Bài tập 2 trang 24 SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo thuộc chương 1: Hàm số và đồ thị. Bài tập này tập trung vào việc xét tính đơn điệu của hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức về đạo hàm, điều kiện đơn điệu của hàm số và cách xét dấu đạo hàm.
Bài tập yêu cầu xét tính đơn điệu của các hàm số sau trên khoảng được chỉ ra:
f'(x) = 3x2 - 3
f'(x) = 0 ⇔ 3x2 - 3 = 0 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = ±1
Xét dấu f'(x) trên khoảng (-∞; -1):
| x | -∞ | -1 |
|---|---|---|
| f'(x) | + | + |
| y | Đồng biến | Đồng biến |
Vậy hàm số y = x3 - 3x + 2 đồng biến trên khoảng (-∞; -1).
f'(x) = 3x2 + 6x
f'(x) = 0 ⇔ 3x2 + 6x = 0 ⇔ 3x(x + 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -2
Xét dấu f'(x) trên khoảng (-3; 0):
| x | -3 | -2 | 0 |
|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + |
| y | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến |
Vậy hàm số y = x3 + 3x2 + 1 đồng biến trên khoảng (-3; -2) và nghịch biến trên khoảng (-2; 0).
f'(x) = 2x - 4
f'(x) = 0 ⇔ 2x - 4 = 0 ⇔ x = 2
Xét dấu f'(x) trên khoảng (0; 2):
| x | 0 | 2 |
|---|---|---|
| f'(x) | - | - |
| y | Nghịch biến | Nghịch biến |
Vậy hàm số y = x2 - 4x + 3 nghịch biến trên khoảng (0; 2).
f'(x) = -2x + 6
f'(x) = 0 ⇔ -2x + 6 = 0 ⇔ x = 3
Xét dấu f'(x) trên khoảng (1; 3):
| x | 1 | 3 |
|---|---|---|
| f'(x) | + | - |
| y | Đồng biến | Nghịch biến |
Vậy hàm số y = -x2 + 6x - 5 đồng biến trên khoảng (1; 3).
Bài tập 2 trang 24 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng xét tính đơn điệu của hàm số. Việc nắm vững phương pháp giải và thực hành thường xuyên sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong các bài kiểm tra và thi cử.
