Giải bài tập 4 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Giải bài tập 4 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài tập 4 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi cung cấp các bước giải rõ ràng, dễ hiểu, kèm theo các lưu ý quan trọng để học sinh nắm vững kiến thức.
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) (y = frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}}) b) (y = 2x - frac{1}{{1 - 2x}})
Đề bài
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}}\)
b) \(y = 2x - \frac{1}{{1 - 2x}}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số
− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu của hàm số.
− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có)
− Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số
− Xác định các giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ
− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết
a) \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 1\} \)
- Chiều biến thiên:
\(y' = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{(x - 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)
Trên các khoảng (\( - \infty \); 0), (2; \( + \infty \)) thì y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (0; 2) thì y' > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.
- Giới hạn và tiệm cận:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} = - \infty \)
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{{x^2} - x}} = 1;b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} - x) = - 1\) nên y = x - 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} = - \infty \) nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
- Bảng biến thiên:
Khi x = 0 thì y = -2 nên (0;-2) là giao điểm của y với trục Oy
b) \(y = 2x - \frac{1}{{1 - 2x}}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ \frac{1}{2}\} \)
- Chiều biến thiên:
\(y' = 2 - \frac{2}{{{{(1 - 2x)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)
Trên các khoảng (\( - \infty \); 0), (1; \( + \infty \)) thì y' > 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (0; \(\frac{1}{2}\)) và (\(\frac{1}{2}\); 1) thì y' < 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.
- Giới hạn và tiệm cận:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (2x - \frac{1}{{1 - 2x}}) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (2x - \frac{1}{{1 - 2x}}) = - \infty \)
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (2 - \frac{1}{{x - 2{x^2}}}) = 2;b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (2x - \frac{1}{{1 - 2x}} - 2x) = 0\) nên y = 2x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} (2x - \frac{1}{{1 - 2x}}) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} (2x - \frac{1}{{1 - 2x}}) = - \infty \) nên x = \(\frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
- Bảng biến thiên:
Khi x = 0 thì y = -1 nên (0;-1) là giao điểm của y với trục Oy
Giải bài tập 4 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Tổng quan
Bài tập 4 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học về giới hạn của hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về giới hạn một bên, giới hạn tại một điểm và các tính chất của giới hạn để giải quyết các bài toán cụ thể. Việc nắm vững kiến thức nền tảng và kỹ năng giải bài tập là vô cùng quan trọng để đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
Nội dung bài tập 4 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Bài tập 4 bao gồm các câu hỏi yêu cầu học sinh tính giới hạn của hàm số tại một điểm cho trước, sử dụng các phương pháp như phân tích thành nhân tử, nhân liên hợp, hoặc áp dụng các định lý về giới hạn. Các hàm số trong bài tập có thể là hàm đa thức, hàm hữu tỉ, hoặc hàm lượng giác.
Phương pháp giải bài tập 4 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
- Xác định dạng của hàm số: Xác định xem hàm số thuộc dạng nào (đa thức, hữu tỉ, lượng giác,...) để lựa chọn phương pháp giải phù hợp.
- Kiểm tra điều kiện tồn tại giới hạn: Đảm bảo rằng giới hạn của hàm số tồn tại tại điểm cần tính. Điều này có thể yêu cầu kiểm tra giới hạn bên trái và giới hạn bên phải.
- Áp dụng các phương pháp giải:
- Hàm đa thức: Thay trực tiếp giá trị của x vào hàm số.
- Hàm hữu tỉ: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử, rút gọn các nhân tử chung, sau đó thay giá trị của x vào.
- Hàm lượng giác: Sử dụng các công thức lượng giác và các giới hạn đặc biệt (ví dụ: lim (sin x)/x = 1 khi x -> 0).
- Nhân liên hợp: Sử dụng phương pháp nhân liên hợp để khử dạng vô định.
- Kiểm tra lại kết quả: Đảm bảo rằng kết quả tính toán là hợp lý và phù hợp với điều kiện của bài toán.
Ví dụ minh họa giải bài tập 4 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Ví dụ: Tính limx→2 (x2 - 4) / (x - 2)
Giải:
- Ta có: (x2 - 4) / (x - 2) = (x - 2)(x + 2) / (x - 2)
- Khi x ≠ 2, ta có: (x2 - 4) / (x - 2) = x + 2
- Vậy, limx→2 (x2 - 4) / (x - 2) = limx→2 (x + 2) = 2 + 2 = 4
Lưu ý khi giải bài tập 4 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
- Luôn kiểm tra điều kiện tồn tại giới hạn trước khi tính toán.
- Sử dụng các phương pháp giải phù hợp với từng dạng hàm số.
- Chú ý đến các giới hạn đặc biệt và các công thức lượng giác.
- Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
Bài tập luyện tập
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập, các em có thể tự giải các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Ngoài ra, các em cũng có thể tham khảo các bài giảng online và các video hướng dẫn giải bài tập trên Montoan.com.vn.
Kết luận
Bài tập 4 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính giới hạn của hàm số. Việc nắm vững kiến thức nền tảng và phương pháp giải bài tập sẽ giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
