Bài 3. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Bài 3: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ - Giải Toán 12 Chân trời sáng tạo

Bài 3 trong chương 2 của sách Toán 12 Chân trời sáng tạo tập 1 đi sâu vào việc biểu diễn các phép toán vectơ trong không gian bằng tọa độ. Đây là một bước quan trọng để chuyển từ hình học trực quan sang đại số, giúp việc giải quyết các bài toán trở nên dễ dàng và chính xác hơn.

1. Ôn tập về vectơ và hệ tọa độ trong không gian

Trước khi đi vào biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ, chúng ta cần ôn lại một số khái niệm cơ bản:

• Vectơ: Một đoạn thẳng có hướng, được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối.
• Hệ tọa độ trong không gian: Hệ tọa độ Oxyz, với ba trục vuông góc nhau Ox, Oy, Oz.
• Tọa độ của vectơ: Nếu A(x_A, y_A, z_A) và B(x_B, y_B, z_B) thì vectơ AB có tọa độ là (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A).

2. Biểu thức tọa độ của phép cộng và phép trừ vectơ

Cho hai vectơ a = (x_a, y_a, z_a) và b = (x_b, y_b, z_b):

• a + b = (x_a + x_b, y_a + y_b, z_a + z_b)
• a - b = (x_a - x_b, y_a - y_b, z_a - z_b)

Như vậy, để cộng hoặc trừ hai vectơ, ta cộng hoặc trừ các tọa độ tương ứng của chúng.

3. Biểu thức tọa độ của phép nhân vectơ với một số thực

Cho vectơ a = (x_a, y_a, z_a) và một số thực k:

ka = (kx_a, ky_a, kz_a)

Phép nhân vectơ với một số thực thực hiện bằng cách nhân mỗi tọa độ của vectơ với số thực đó.

4. Biểu thức tọa độ của phép nhân vô hướng

Cho hai vectơ a = (x_a, y_a, z_a) và b = (x_b, y_b, z_b):

a ⋅ b = x_ax_b + y_ay_b + z_az_b

Phép nhân vô hướng của hai vectơ được tính bằng tổng tích các tọa độ tương ứng của chúng.

5. Ví dụ minh họa

Cho a = (1, 2, 3) và b = (-2, 0, 1). Hãy tính:

• a + b = (1 - 2, 2 + 0, 3 + 1) = (-1, 2, 4)
• a - b = (1 + 2, 2 - 0, 3 - 1) = (3, 2, 2)
• 2a = (2 * 1, 2 * 2, 2 * 3) = (2, 4, 6)
• a ⋅ b = (1 * -2) + (2 * 0) + (3 * 1) = -2 + 0 + 3 = 1

6. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức, bạn hãy tự giải các bài tập sau:

1. Cho a = (2, -1, 0) và b = (1, 3, -2). Tính a + b, a - b, 3a và a ⋅ b.
2. Tìm tọa độ của vectơ c biết rằng c = 2a - b với a = (1, 1, 1) và b = (0, -1, 2).

7. Kết luận

Bài 3 đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ. Việc nắm vững những kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả và chính xác. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.