Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

I. Khái niệm về tính đơn điệu của hàm số

Một hàm số f(x) được gọi là đồng biến trên khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2, ta có f(x1) < f(x2). Tương tự, một hàm số f(x) được gọi là nghịch biến trên khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2, ta có f(x1) > f(x2).

Để xác định tính đơn điệu của hàm số, ta thường sử dụng đạo hàm. Cụ thể:

Nếu f'(x) > 0 trên khoảng (a, b) thì hàm số f(x) đồng biến trên (a, b).
Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (a, b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên (a, b).

II. Khái niệm về cực trị của hàm số

Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 sao cho f(x) < f(x0) với mọi x thuộc (a, b). Giá trị f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số.

Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 sao cho f(x) > f(x0) với mọi x thuộc (a, b). Giá trị f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số.

Để tìm cực trị của hàm số, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm f'(x).
Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm nghiệm.
Xét dấu của f'(x) trên các khoảng xác định bởi các điểm nghiệm.
Kết luận về cực trị dựa vào dấu của f'(x).

III. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số.

Giải:

f'(x) = 3x^2 - 6x
Giải f'(x) = 0 ta được x = 0 hoặc x = 2.
Xét dấu f'(x):

Khoảng	f'(x)	Tính đơn điệu của f(x)
(-∞, 0)	> 0	Đồng biến
(0, 2)	< 0	Nghịch biến
(2, +∞)	> 0	Đồng biến

Vậy hàm số đồng biến trên (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên (0, 2). Hàm số đạt cực đại tại x = 0 với giá trị f(0) = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2 với giá trị f(2) = -2.

Ví dụ 2: (Tự giải tương tự)

IV. Luyện tập

Các em hãy tự giải các bài tập trong SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo để củng cố kiến thức về tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Đừng quên tham khảo lời giải chi tiết tại montoan.com.vn để kiểm tra kết quả và hiểu rõ hơn về phương pháp giải.

Chúc các em học tập tốt!