Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo

Chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc giúp học sinh hiểu sâu sắc về các khái niệm và ứng dụng của đạo hàm trong việc xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số. Đây là một phần kiến thức quan trọng, nền tảng cho các bài toán tối ưu hóa và ứng dụng thực tế.

Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, bài giảng chi tiết và bài tập thực hành đa dạng, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.

Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số 1. Tính đơn điệu của hàm số

1. Tính đơn điệu của hàm số

Định lý 1

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K

Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

Chú ý:

a) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K, f’(x) 0 với mọi x thuộc K và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm của K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K, f’(x) 0 với mọi x thuộc K và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm của K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

c) Nếu f’(x) = 0 với mọi x thuộc K thì hàm số không đổi trên K.

2. Cực trị của hàm số

Khái niệm cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập \(K \subset R\), trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng và \({x_0} \in K,{x_1} \in K\)

\({x_0}\) được gọi là một điểm cực đại của hàm số đã cho nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) sao cho (a;b) \( \subset \) K và \(f(x) < f({x_0})\) với mọi \(x \in (a;b)\) và \(x \ne {x_0}\). Khi đó, \(f({x_0})\) được gọi là giá trị cực đại của hàm số đã cho, kí hiệu là \({f_{CĐ}}\)
\({x_1}\) được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số đã cho nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) sao cho (c;d) \( \subset \) K và \(f(x) > f({x_1})\) với mọi \(x \in (c;d)\) và \(x \ne {x_1}\). Khi đó, \(f({x_1})\) được gọi là giá trị cực đại của hàm số đã cho, kí hiệu là \({f_{CT}}\)
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị)

Định lý

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) và có đạo hàm trên các khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0};b} \right)\). Khi đó:

a) Nếu f’(x) < 0 với mọi \(x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) > 0 với mọi \(x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm \({x_0}\)

b) Nếu f’(x) > 0 với mọi \(x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) < 0 với mọi \(x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm \({x_0}\)

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo 1

Bạn đang khám phá nội dung Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo trong chuyên mục toán lớp 12 trên nền tảng toán học. Được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình sách giáo khoa hiện hành, bộ bài tập toán trung học phổ thông này cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức Toán lớp 12 cho học sinh THPT, thông qua phương pháp tiếp cận trực quan và mang lại hiệu quả học tập vượt trội, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vào đại học.

Ghi chú: Quý thầy, cô giáo và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên MonToan.com.vn bằng cách gửi về:

Facebook: MÔN TOÁN

Email: montoanmath@gmail.com

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo

Chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo đi sâu vào việc nghiên cứu tính chất của hàm số thông qua đạo hàm. Việc nắm vững lý thuyết tính đơn điệu và cực trị là vô cùng quan trọng, không chỉ cho kỳ thi THPT Quốc gia mà còn là nền tảng cho các kiến thức toán học nâng cao.

I. Khái niệm về tính đơn điệu của hàm số

Một hàm số được gọi là đồng biến trên một khoảng nếu giá trị của hàm số tăng lên khi biến số tăng lên. Ngược lại, một hàm số được gọi là nghịch biến trên một khoảng nếu giá trị của hàm số giảm xuống khi biến số tăng lên.

Hàm số đồng biến: Nếu với mọi x₁, x₂ thuộc khoảng (a, b) và x₁ < x₂ thì f(x₁) < f(x₂).
Hàm số nghịch biến: Nếu với mọi x₁, x₂ thuộc khoảng (a, b) và x₁ < x₂ thì f(x₁) > f(x₂).

Để xét tính đơn điệu của hàm số, chúng ta sử dụng đạo hàm. Cụ thể:

Nếu f'(x) > 0 trên một khoảng (a, b) thì hàm số f(x) đồng biến trên (a, b).
Nếu f'(x) < 0 trên một khoảng (a, b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên (a, b).

II. Khái niệm về cực trị của hàm số

Cực trị của hàm số là giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất mà hàm số đạt được tại một điểm nào đó trong tập xác định của nó.

Điểm cực đại: Điểm x₀ được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x₀ sao cho f(x₀) > f(x) với mọi x thuộc (a, b).
Điểm cực tiểu: Điểm x₀ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x₀ sao cho f(x₀) < f(x) với mọi x thuộc (a, b).

Để tìm cực trị của hàm số, chúng ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm f'(x).
Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm nghiệm.
Xét dấu của f'(x) trên các khoảng xác định bởi các điểm nghiệm.
Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm tại x₀ thì x₀ là điểm cực đại.
Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương tại x₀ thì x₀ là điểm cực tiểu.

III. Ứng dụng của lý thuyết tính đơn điệu và cực trị

Lý thuyết tính đơn điệu và cực trị có nhiều ứng dụng trong thực tế, đặc biệt trong các bài toán tối ưu hóa. Ví dụ, chúng ta có thể sử dụng lý thuyết này để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số biểu diễn chi phí sản xuất, lợi nhuận, hoặc diện tích.

IV. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số.

Giải:

Tính đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x.
Giải phương trình f'(x) = 0: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2.
Xét dấu của f'(x):

Khi x < 0: f'(x) > 0 => Hàm số đồng biến trên (-∞, 0).
Khi 0 < x < 2: f'(x) < 0 => Hàm số nghịch biến trên (0, 2).
Khi x > 2: f'(x) > 0 => Hàm số đồng biến trên (2, +∞).

Kết luận: Hàm số có điểm cực đại tại x = 0, f(0) = 2 và điểm cực tiểu tại x = 2, f(2) = -2.

V. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về lý thuyết tính đơn điệu và cực trị, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp một hệ thống bài tập phong phú, đa dạng, được phân loại theo mức độ khó, giúp bạn củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.

Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, bạn đã có cái nhìn tổng quan về lý thuyết tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!