Giải bài tập 15 trang 29 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho \(f\left( x \right) = {x^2}\ln x\) và \(g\left( x \right) = x\ln x\). Tính \(f'\left( x \right)\) và \(\int {g\left( x \right)dx} \).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 15 trang 29 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo 1

Sử dụng các công thức tính đạo hàm và nguyên hàm để tính \(f'\left( x \right)\). Từ đó, viết biểu thức \(g\left( x \right) = x\ln x\) theo \(f'\left( x \right)\) và tính \(\int {g\left( x \right)dx} \)

Lời giải chi tiết

Ta có \(f'\left( x \right) = \left( {{x^2}\ln x} \right)' = 2x\ln x + {x^2}.\frac{1}{x} = 2x\ln x + x = 2g\left( x \right) + x\)

Suy ra \(g\left( x \right) = \frac{1}{2}\left[ {f'\left( x \right) - x} \right] \Rightarrow \int {g\left( x \right)dx} = \frac{1}{2}\int {\left[ {f'\left( x \right) - x} \right]dx} = \frac{1}{2}\left[ {f\left( x \right) - \frac{{{x^2}}}{2}} \right] + C\), tức là \(\int {x\ln xdx} = \frac{1}{2}\left( {{x^2}\ln x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right) + C\)

Giải bài tập 15 trang 29 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo: Tổng quan

Bài tập 15 trang 29 SGK Toán 12 tập 2 thuộc chương trình Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc ôn tập và củng cố kiến thức về đạo hàm. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các công thức đạo hàm cơ bản, quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp, và đạo hàm của hàm số lượng giác để giải quyết các bài toán cụ thể.

Nội dung bài tập 15 trang 29 SGK Toán 12 tập 2

Bài tập 15 thường bao gồm các dạng bài sau:

Tính đạo hàm của hàm số: Yêu cầu tính đạo hàm của các hàm số đơn thức, đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số logarit.
Áp dụng quy tắc đạo hàm: Vận dụng quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp để tính đạo hàm của các hàm số phức tạp.
Giải phương trình đạo hàm: Tìm nghiệm của phương trình đạo hàm bằng cách giải các phương trình lượng giác, phương trình mũ, phương trình logarit.
Tìm cực trị của hàm số: Xác định các điểm cực trị của hàm số bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0 và xét dấu đạo hàm.

Lời giải chi tiết bài tập 15 trang 29 SGK Toán 12 tập 2

Để giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài tập 15, chúng ta sẽ đi vào giải chi tiết từng câu hỏi. Dưới đây là lời giải chi tiết cho một số câu hỏi tiêu biểu:

Câu a: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x³ + 2x² - 5x + 1

Lời giải:

f'(x) = 3x² + 4x - 5

Câu b: Tính đạo hàm của hàm số g(x) = sin(2x)

Lời giải:

g'(x) = 2cos(2x)

Câu c: Tìm đạo hàm của hàm số h(x) = e^x * cos(x)

Lời giải:

h'(x) = e^xcos(x) - e^xsin(x) = e^x(cos(x) - sin(x))

Phương pháp giải bài tập đạo hàm hiệu quả

Để giải bài tập đạo hàm một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:

Nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản: Đạo hàm của các hàm số đơn thức, đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số logarit.
Hiểu rõ các quy tắc tính đạo hàm: Quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp.
Luyện tập thường xuyên: Giải nhiều bài tập khác nhau để rèn luyện kỹ năng và làm quen với các dạng bài tập.
Sử dụng các công cụ hỗ trợ: Sử dụng máy tính cầm tay hoặc các phần mềm tính đạo hàm để kiểm tra kết quả.

Ứng dụng của đạo hàm trong thực tế

Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

Vật lý: Tính vận tốc, gia tốc, lực.
Kinh tế: Tính chi phí biên, doanh thu biên, lợi nhuận biên.
Kỹ thuật: Thiết kế các hệ thống điều khiển, tối ưu hóa các quy trình sản xuất.
Thống kê: Phân tích dữ liệu, dự đoán xu hướng.

Kết luận

Bài tập 15 trang 29 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và các phương pháp giải hiệu quả mà Montoan.com.vn cung cấp, các em sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập đạo hàm và đạt kết quả tốt trong môn Toán.