Bài 2. Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Trong thống kê, phương sai và độ lệch chuẩn là hai đại lượng quan trọng dùng để đo lường mức độ phân tán của một tập dữ liệu. Đối với mẫu số liệu ghép nhóm, việc tính toán hai đại lượng này có những đặc điểm riêng. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về cách tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm theo chương trình Toán 12 tập 1, sách Chân trời sáng tạo.

1. Khái niệm mẫu số liệu ghép nhóm

Mẫu số liệu ghép nhóm là tập hợp các số liệu được chia thành các khoảng (nhóm) và mỗi khoảng được biểu diễn bằng một giá trị đại diện, thường là trung điểm của khoảng đó. Ví dụ, nếu ta có dữ liệu về chiều cao của học sinh trong một lớp, ta có thể chia chiều cao thành các khoảng như: 150-155cm, 155-160cm, 160-165cm,...

2. Công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm

Phương sai (ký hiệu là s²) của mẫu số liệu ghép nhóm được tính theo công thức sau:

s² = ∑[(x_i - x̄)² * n_i] / (n - 1)

Trong đó:

• x_i là trung điểm của khoảng thứ i
• x̄ là trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm (x̄ = ∑(x_i * n_i) / n)
• n_i là tần số của khoảng thứ i (số lượng giá trị dữ liệu thuộc khoảng thứ i)
• n là tổng số lượng giá trị dữ liệu (n = ∑n_i)

3. Công thức tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Độ lệch chuẩn (ký hiệu là s) của mẫu số liệu ghép nhóm là căn bậc hai của phương sai:

s = √s²

4. Ví dụ minh họa

Xét bảng số liệu sau về điểm thi Toán của 30 học sinh:

Bước 1: Tính trung bình cộng (x̄)

x̄ = (5.5 * 5 + 6.5 * 8 + 7.5 * 10 + 8.5 * 4 + 9.5 * 3) / 30 = 7.25

Bước 2: Tính phương sai (s²)

s² = [(5.5 - 7.25)² * 5 + (6.5 - 7.25)² * 8 + (7.5 - 7.25)² * 10 + (8.5 - 7.25)² * 4 + (9.5 - 7.25)² * 3] / (30 - 1)

s² ≈ 2.4167

Bước 3: Tính độ lệch chuẩn (s)

s = √2.4167 ≈ 1.5546

5. Ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn

Phương sai và độ lệch chuẩn cho biết mức độ phân tán của dữ liệu xung quanh giá trị trung bình. Phương sai càng lớn, độ lệch chuẩn càng lớn, dữ liệu càng phân tán rộng. Ngược lại, phương sai và độ lệch chuẩn càng nhỏ, dữ liệu càng tập trung gần giá trị trung bình.

6. Ứng dụng của phương sai và độ lệch chuẩn

Phương sai và độ lệch chuẩn được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như:

• Thống kê kinh tế: Đánh giá rủi ro trong đầu tư, phân tích biến động giá cả.
• Y học: Đánh giá hiệu quả của thuốc, so sánh mức độ biến động của các chỉ số sinh lý.
• Giáo dục: Đánh giá mức độ đồng đều của kết quả học tập, so sánh trình độ của các học sinh.

Hy vọng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm. Chúc các em học tập tốt!