Bài 2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Bài 2 trong chương 1 của chương trình Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của một hàm số trên một khoảng xác định. Đây là một kỹ năng quan trọng không chỉ trong chương trình học phổ thông mà còn là nền tảng cho các kiến thức toán học nâng cao.

I. Khái niệm cơ bản về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Một hàm số f(x) được gọi là có giá trị lớn nhất tại điểm x₀ nếu f(x₀) ≥ f(x) với mọi x thuộc tập xác định của hàm số. Tương tự, hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất tại điểm x₀ nếu f(x₀) ≤ f(x) với mọi x thuộc tập xác định của hàm số.

II. Điều kiện cần để hàm số đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Để một hàm số f(x) đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại điểm x₀, điều kiện cần là đạo hàm của hàm số tại điểm đó phải bằng 0 hoặc không tồn tại. Tức là, f'(x₀) = 0 hoặc f'(x₀) không tồn tại.

III. Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

1. Bước 1: Tính đạo hàm f'(x) của hàm số f(x).
2. Bước 2: Tìm các điểm dừng của hàm số, tức là giải phương trình f'(x) = 0.
3. Bước 3: Xác định các khoảng mà hàm số đồng biến và nghịch biến.
4. Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại các điểm dừng và các điểm mút của khoảng xét.
5. Bước 5: So sánh các giá trị đã tính để tìm ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng xét.

IV. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên đoạn [-1; 3].

Giải:

• f'(x) = 3x² - 6x
• Giải phương trình f'(x) = 0, ta được x = 0 và x = 2.
• Xét dấu f'(x) trên các khoảng (-1; 0), (0; 2), (2; 3), ta thấy hàm số đồng biến trên (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên (0; 2).
• Tính f(-1) = 0, f(0) = 2, f(2) = -2, f(3) = 2.
• Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-1; 3] là 2, đạt được tại x = 0 và x = 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1; 3] là -2, đạt được tại x = 2.

V. Lưu ý quan trọng

Khi tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, cần chú ý đến tập xác định của hàm số và các điểm không xác định của đạo hàm. Ngoài ra, cần kiểm tra các điểm mút của khoảng xét, vì giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất có thể xảy ra tại các điểm này.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức hữu ích về cách tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Chúc các em học tập tốt!