Giải mục 2 trang 16, 17, 18 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Giải mục 2 trang 16, 17, 18 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 2 trang 16, 17, 18 sách giáo khoa Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải bài tập và tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những nội dung chất lượng, chính xác và cập nhật nhất để hỗ trợ tối đa cho các em học sinh.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
TH3
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 18 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 cm có thể có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?
Phương pháp giải:
Tìm hệ thức liên hệ giữa các cạnh, từ đó suy ra hàm số của diện tích tam giác vuông. Sau đó tìm đạo hàm, lập bảng biến thiên và xác định giá trị lớn nhất của hàm số
Lời giải chi tiết:
Đặt một cạnh góc vuông là x (x > 0) thì cạnh còn lại là \(\sqrt {25 - {x^2}} \)
Diện tích tam giác vuông là: \(f(x) = \frac{{1}}{2} x\sqrt {25 - {x^2}} \)
Tập xác định: \(D = (0; 5 )\)
\(f'(x) = \frac{{1}}{2}\sqrt {25 - {x^2}} - \frac{{1}}{2}. \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {25 - {x^2}} }}\)
Tập xác định mới: \({D_1} = (0; 5 )\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\sqrt {2} }}{2}\\x = - \frac{{5\sqrt {2} }}{2}(loại)\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_D f(x) = f(\frac{{5\sqrt {2} }}{2}) = \frac{25}{4}\).
Vậy diện tích lớn nhất của tam giác là \(\frac{25}{4}\).
TH2
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 18 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g(x) = x + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên đoạn [1;4]
Phương pháp giải:
Tìm đạo hàm g’(x), lập bảng biến thiên và xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Lời giải chi tiết:
Xét \(g(x) = x + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên đoạn [1;4]
\(g'(x) = 1 - \frac{8}{{{x^3}}} = 0 \Leftrightarrow x = 2\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{[1;4]} g(x) = g(2) = 3\) và \(\mathop {\max }\limits_{[1;4]} g(x) = g(1) = 5\)
KP2
Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 16 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Hình 3 cho ta đồ thị của ba hàm số
\(f(x) = \frac{1}{2}{x^2}\); \(g(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}{x^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;neu\;x \le 2\;\\ - 4x + 10\;\;\;\;neu\;x \ge 2\end{array} \right.\) và \(h(x) = 3 - \frac{1}{2}{x^2}\) trên đoạn [-1;3]
a) Hàm số nào đạt giá trị lớn nhất tại một điểm cực đại của nó?
b) Các hàm số còn lại đạt giá trị lớn nhất tại điểm nào?
Phương pháp giải:
Quan sát đồ thị và chỉ ra điểm cực đại và giá trị lớn nhất của 3 hàm số.
Lời giải chi tiết:
a) \(h(x)\)đạt giá trị cực đại tại x = 0 và \(\mathop {\max h(x)}\limits_{[ - 1;3]} = h(0) = 3\)
b) \(\mathop {\max f(x)}\limits_{[ - 1;3]} = f(3) = \frac{9}{2}\) và \(\mathop {\max g(x)}\limits_{[ - 1;3]} = g(2) = 2\)
- KP2
- TH2
- TH3
Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 16 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Hình 3 cho ta đồ thị của ba hàm số
\(f(x) = \frac{1}{2}{x^2}\); \(g(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}{x^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;neu\;x \le 2\;\\ - 4x + 10\;\;\;\;neu\;x \ge 2\end{array} \right.\) và \(h(x) = 3 - \frac{1}{2}{x^2}\) trên đoạn [-1;3]
a) Hàm số nào đạt giá trị lớn nhất tại một điểm cực đại của nó?
b) Các hàm số còn lại đạt giá trị lớn nhất tại điểm nào?
Phương pháp giải:
Quan sát đồ thị và chỉ ra điểm cực đại và giá trị lớn nhất của 3 hàm số.
Lời giải chi tiết:
a) \(h(x)\)đạt giá trị cực đại tại x = 0 và \(\mathop {\max h(x)}\limits_{[ - 1;3]} = h(0) = 3\)
b) \(\mathop {\max f(x)}\limits_{[ - 1;3]} = f(3) = \frac{9}{2}\) và \(\mathop {\max g(x)}\limits_{[ - 1;3]} = g(2) = 2\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 18 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g(x) = x + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên đoạn [1;4]
Phương pháp giải:
Tìm đạo hàm g’(x), lập bảng biến thiên và xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Lời giải chi tiết:
Xét \(g(x) = x + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên đoạn [1;4]
\(g'(x) = 1 - \frac{8}{{{x^3}}} = 0 \Leftrightarrow x = 2\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{[1;4]} g(x) = g(2) = 3\) và \(\mathop {\max }\limits_{[1;4]} g(x) = g(1) = 5\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 18 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 cm có thể có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?
Phương pháp giải:
Tìm hệ thức liên hệ giữa các cạnh, từ đó suy ra hàm số của diện tích tam giác vuông. Sau đó tìm đạo hàm, lập bảng biến thiên và xác định giá trị lớn nhất của hàm số
Lời giải chi tiết:
Đặt một cạnh góc vuông là x (x > 0) thì cạnh còn lại là \(\sqrt {25 - {x^2}} \)
Diện tích tam giác vuông là: \(f(x) = \frac{{1}}{2} x\sqrt {25 - {x^2}} \)
Tập xác định: \(D = (0; 5 )\)
\(f'(x) = \frac{{1}}{2}\sqrt {25 - {x^2}} - \frac{{1}}{2}. \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {25 - {x^2}} }}\)
Tập xác định mới: \({D_1} = (0; 5 )\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\sqrt {2} }}{2}\\x = - \frac{{5\sqrt {2} }}{2}(loại)\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_D f(x) = f(\frac{{5\sqrt {2} }}{2}) = \frac{25}{4}\).
Vậy diện tích lớn nhất của tam giác là \(\frac{25}{4}\).
Giải mục 2 trang 16, 17, 18 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Tổng quan và Phương pháp giải
Mục 2 của SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo tập trung vào việc nghiên cứu về giới hạn của hàm số. Đây là một khái niệm nền tảng quan trọng trong giải tích, đóng vai trò then chốt trong việc hiểu và giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm, tích phân và các ứng dụng của chúng.
1. Khái niệm giới hạn của hàm số
Giới hạn của hàm số tại một điểm là giá trị mà hàm số tiến tới khi biến số độc lập tiến tới điểm đó. Việc hiểu rõ khái niệm này là bước đầu tiên để giải quyết các bài toán về giới hạn. Cụ thể, ta có định nghĩa sau:
Hàm số f(x) có giới hạn là L khi x tiến tới a, ký hiệu là limx→a f(x) = L, nếu với mọi số dương ε (epsilon) nhỏ tùy ý, tồn tại một số dương δ (delta) sao cho nếu 0 < |x - a| < δ thì |f(x) - L| < ε.
2. Các dạng giới hạn thường gặp
Trong quá trình giải toán, chúng ta thường gặp các dạng giới hạn sau:
- Giới hạn tại vô cùng: limx→∞ f(x) và limx→-∞ f(x)
- Giới hạn một bên: limx→a+ f(x) (giới hạn bên phải) và limx→a- f(x) (giới hạn bên trái)
- Giới hạn của các hàm số sơ cấp: Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác,...
3. Các phương pháp tính giới hạn
Có nhiều phương pháp để tính giới hạn, tùy thuộc vào dạng của hàm số. Một số phương pháp phổ biến bao gồm:
- Phương pháp trực tiếp: Thay trực tiếp giá trị của x vào hàm số để tính giới hạn.
- Phương pháp phân tích thành nhân tử: Phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử để rút gọn biểu thức.
- Phương pháp nhân liên hợp: Nhân tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp để khử dạng vô định.
- Phương pháp sử dụng định lý giới hạn: Áp dụng các định lý giới hạn đã biết để tính giới hạn.
- Phương pháp quy tắc L'Hopital: Sử dụng đạo hàm để tính giới hạn trong trường hợp có dạng vô định.
4. Bài tập minh họa và lời giải chi tiết
Bài 1: Tính limx→2 (x2 - 4) / (x - 2)
Lời giải: Ta có thể phân tích tử số thành nhân tử:
(x2 - 4) / (x - 2) = (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = x + 2 (với x ≠ 2)
Do đó, limx→2 (x2 - 4) / (x - 2) = limx→2 (x + 2) = 2 + 2 = 4
Bài 2: Tính limx→∞ (2x2 + 3x - 1) / (x2 + 1)
Lời giải: Chia cả tử số và mẫu số cho x2:
(2x2 + 3x - 1) / (x2 + 1) = (2 + 3/x - 1/x2) / (1 + 1/x2)
Do đó, limx→∞ (2x2 + 3x - 1) / (x2 + 1) = (2 + 0 - 0) / (1 + 0) = 2
5. Lưu ý khi giải bài tập về giới hạn
Khi giải bài tập về giới hạn, cần lưu ý những điều sau:
- Kiểm tra xem hàm số có xác định tại điểm cần tính giới hạn hay không.
- Xác định đúng dạng giới hạn và lựa chọn phương pháp giải phù hợp.
- Sử dụng các định lý giới hạn một cách chính xác.
- Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính đúng đắn.
Hy vọng với những kiến thức và phương pháp giải trên, các em học sinh có thể tự tin giải quyết các bài tập về giới hạn trong SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo. Montoan.com.vn sẽ tiếp tục cập nhật và cung cấp những tài liệu học tập hữu ích khác để hỗ trợ các em trong quá trình học tập.
