THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 2 trang 16, 17, 18 sách giáo khoa Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải bài tập và tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những nội dung chất lượng, chính xác và cập nhật nhất để hỗ trợ tối đa cho các em học sinh.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 18 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 cm có thể có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?
Phương pháp giải:
Tìm hệ thức liên hệ giữa các cạnh, từ đó suy ra hàm số của diện tích tam giác vuông. Sau đó tìm đạo hàm, lập bảng biến thiên và xác định giá trị lớn nhất của hàm số
Lời giải chi tiết:
Đặt một cạnh góc vuông là x (x > 0) thì cạnh còn lại là \(\sqrt {25 - {x^2}} \)
Diện tích tam giác vuông là: \(f(x) = \frac{{1}}{2} x\sqrt {25 - {x^2}} \)
Tập xác định: \(D = (0; 5 )\)
\(f'(x) = \frac{{1}}{2}\sqrt {25 - {x^2}} - \frac{{1}}{2}. \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {25 - {x^2}} }}\)
Tập xác định mới: \({D_1} = (0; 5 )\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\sqrt {2} }}{2}\\x = - \frac{{5\sqrt {2} }}{2}(loại)\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_D f(x) = f(\frac{{5\sqrt {2} }}{2}) = \frac{25}{4}\).
Vậy diện tích lớn nhất của tam giác là \(\frac{25}{4}\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 18 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g(x) = x + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên đoạn [1;4]
Phương pháp giải:
Tìm đạo hàm g’(x), lập bảng biến thiên và xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Lời giải chi tiết:
Xét \(g(x) = x + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên đoạn [1;4]
\(g'(x) = 1 - \frac{8}{{{x^3}}} = 0 \Leftrightarrow x = 2\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{[1;4]} g(x) = g(2) = 3\) và \(\mathop {\max }\limits_{[1;4]} g(x) = g(1) = 5\)
Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 16 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Hình 3 cho ta đồ thị của ba hàm số
\(f(x) = \frac{1}{2}{x^2}\); \(g(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}{x^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;neu\;x \le 2\;\\ - 4x + 10\;\;\;\;neu\;x \ge 2\end{array} \right.\) và \(h(x) = 3 - \frac{1}{2}{x^2}\) trên đoạn [-1;3]
a) Hàm số nào đạt giá trị lớn nhất tại một điểm cực đại của nó?
b) Các hàm số còn lại đạt giá trị lớn nhất tại điểm nào?
Phương pháp giải:
Quan sát đồ thị và chỉ ra điểm cực đại và giá trị lớn nhất của 3 hàm số.
Lời giải chi tiết:
a) \(h(x)\)đạt giá trị cực đại tại x = 0 và \(\mathop {\max h(x)}\limits_{[ - 1;3]} = h(0) = 3\)
b) \(\mathop {\max f(x)}\limits_{[ - 1;3]} = f(3) = \frac{9}{2}\) và \(\mathop {\max g(x)}\limits_{[ - 1;3]} = g(2) = 2\)
Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 16 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Hình 3 cho ta đồ thị của ba hàm số
\(f(x) = \frac{1}{2}{x^2}\); \(g(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}{x^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;neu\;x \le 2\;\\ - 4x + 10\;\;\;\;neu\;x \ge 2\end{array} \right.\) và \(h(x) = 3 - \frac{1}{2}{x^2}\) trên đoạn [-1;3]
a) Hàm số nào đạt giá trị lớn nhất tại một điểm cực đại của nó?
b) Các hàm số còn lại đạt giá trị lớn nhất tại điểm nào?
Phương pháp giải:
Quan sát đồ thị và chỉ ra điểm cực đại và giá trị lớn nhất của 3 hàm số.
Lời giải chi tiết:
a) \(h(x)\)đạt giá trị cực đại tại x = 0 và \(\mathop {\max h(x)}\limits_{[ - 1;3]} = h(0) = 3\)
b) \(\mathop {\max f(x)}\limits_{[ - 1;3]} = f(3) = \frac{9}{2}\) và \(\mathop {\max g(x)}\limits_{[ - 1;3]} = g(2) = 2\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 18 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g(x) = x + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên đoạn [1;4]
Phương pháp giải:
Tìm đạo hàm g’(x), lập bảng biến thiên và xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Lời giải chi tiết:
Xét \(g(x) = x + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên đoạn [1;4]
\(g'(x) = 1 - \frac{8}{{{x^3}}} = 0 \Leftrightarrow x = 2\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{[1;4]} g(x) = g(2) = 3\) và \(\mathop {\max }\limits_{[1;4]} g(x) = g(1) = 5\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 18 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 cm có thể có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?
Phương pháp giải:
Tìm hệ thức liên hệ giữa các cạnh, từ đó suy ra hàm số của diện tích tam giác vuông. Sau đó tìm đạo hàm, lập bảng biến thiên và xác định giá trị lớn nhất của hàm số
Lời giải chi tiết:
Đặt một cạnh góc vuông là x (x > 0) thì cạnh còn lại là \(\sqrt {25 - {x^2}} \)
Diện tích tam giác vuông là: \(f(x) = \frac{{1}}{2} x\sqrt {25 - {x^2}} \)
Tập xác định: \(D = (0; 5 )\)
\(f'(x) = \frac{{1}}{2}\sqrt {25 - {x^2}} - \frac{{1}}{2}. \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {25 - {x^2}} }}\)
Tập xác định mới: \({D_1} = (0; 5 )\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\sqrt {2} }}{2}\\x = - \frac{{5\sqrt {2} }}{2}(loại)\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_D f(x) = f(\frac{{5\sqrt {2} }}{2}) = \frac{25}{4}\).
Vậy diện tích lớn nhất của tam giác là \(\frac{25}{4}\).
Mục 2 của SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo tập trung vào việc nghiên cứu về giới hạn của hàm số. Đây là một khái niệm nền tảng quan trọng trong giải tích, đóng vai trò then chốt trong việc hiểu và giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm, tích phân và các ứng dụng của chúng.
Giới hạn của hàm số tại một điểm là giá trị mà hàm số tiến tới khi biến số độc lập tiến tới điểm đó. Việc hiểu rõ khái niệm này là bước đầu tiên để giải quyết các bài toán về giới hạn. Cụ thể, ta có định nghĩa sau:
Hàm số f(x) có giới hạn là L khi x tiến tới a, ký hiệu là limx→a f(x) = L, nếu với mọi số dương ε (epsilon) nhỏ tùy ý, tồn tại một số dương δ (delta) sao cho nếu 0 < |x - a| < δ thì |f(x) - L| < ε.
Trong quá trình giải toán, chúng ta thường gặp các dạng giới hạn sau:
Có nhiều phương pháp để tính giới hạn, tùy thuộc vào dạng của hàm số. Một số phương pháp phổ biến bao gồm:
Bài 1: Tính limx→2 (x2 - 4) / (x - 2)
Lời giải: Ta có thể phân tích tử số thành nhân tử:
(x2 - 4) / (x - 2) = (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = x + 2 (với x ≠ 2)
Do đó, limx→2 (x2 - 4) / (x - 2) = limx→2 (x + 2) = 2 + 2 = 4
Bài 2: Tính limx→∞ (2x2 + 3x - 1) / (x2 + 1)
Lời giải: Chia cả tử số và mẫu số cho x2:
(2x2 + 3x - 1) / (x2 + 1) = (2 + 3/x - 1/x2) / (1 + 1/x2)
Do đó, limx→∞ (2x2 + 3x - 1) / (x2 + 1) = (2 + 0 - 0) / (1 + 0) = 2
Khi giải bài tập về giới hạn, cần lưu ý những điều sau:
Hy vọng với những kiến thức và phương pháp giải trên, các em học sinh có thể tự tin giải quyết các bài tập về giới hạn trong SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo. Montoan.com.vn sẽ tiếp tục cập nhật và cung cấp những tài liệu học tập hữu ích khác để hỗ trợ các em trong quá trình học tập.
