THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 3 trang 28, 29, 30 sách giáo khoa Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, đầy đủ và trình bày một cách rõ ràng nhất để hỗ trợ tối đa cho quá trình học tập của các em.
Khảo sát hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}(c \ne 0,ad - bc \ne 0)\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 30 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)
b) \(y = \frac{{2x}}{{3x - 1}}\)
c) \(y = \frac{{5 + x}}{{2 - x}}\)
Phương pháp giải:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số
− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu của hàm số.
− Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số
− Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số
− Xác định các giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ
− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết:
a) \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 1\} \)
\(y' = \frac{{ - 2}}{{{{(x - 1)}^2}}} \le 0\forall x \in D\)nên hàm số nghịch biến trên D
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 1\) nên y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = - \infty \) nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Bảng biến thiên:
Khi x = 0 thì y = -1 nên (0; -1) là giao điểm của đồ thị với trục Oy
Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 0 \Leftrightarrow x = - 1\)
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (-1; 0)
b) \(y = \frac{{2x}}{{3x - 1}}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ \frac{1}{3}\} \)
\(y' = \frac{{ - 2}}{{{{(3x - 1)}^2}}} \le 0\forall x \in D\) nên hàm số nghịch biến trên D
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x}}{{3x - 1}} = \frac{2}{3};\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x}}{{3x - 1}} = \frac{2}{3}\) nên y = \(\frac{2}{3}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{3}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{3}}^ + }} \frac{{2x}}{{3x - 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{3}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{3}}^ - }} \frac{{2x}}{{3x - 1}} = - \infty \) nên x = \(\frac{1}{3}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Khi x = 0 thì y = 0 nên (0; 0) là giao điểm của đồ thị với trục Oy
Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x}}{{3x - 1}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (0; 0)
c) \(y = \frac{{5 + x}}{{2 - x}}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 2\} \)
\(y' = \frac{7}{{{{(2 - x)}^2}}} \ge 0\forall x \in D\) nên hàm số đồng biến trên D
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{5 + x}}{{2 - x}} = - 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{5 + x}}{{2 - x}} = - 1\) nên y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \frac{{5 + x}}{{2 - x}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{2x}}{{3x - 1}} = + \infty \) nên x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Khi x = 0 thì y = \(\frac{5}{2}\) nên (0; \(\frac{5}{2}\)) là giao điểm của đồ thị với trục Oy
Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{5 + x}}{{2 - x}} = 0 \Leftrightarrow x = - 5\)
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (-5; 0)
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 30 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)
b) \(y = \frac{{2x}}{{3x - 1}}\)
c) \(y = \frac{{5 + x}}{{2 - x}}\)
Phương pháp giải:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số
− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu của hàm số.
− Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số
− Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số
− Xác định các giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ
− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết:
a) \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 1\} \)
\(y' = \frac{{ - 2}}{{{{(x - 1)}^2}}} \le 0\forall x \in D\)nên hàm số nghịch biến trên D
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 1\) nên y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = - \infty \) nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Bảng biến thiên:
Khi x = 0 thì y = -1 nên (0; -1) là giao điểm của đồ thị với trục Oy
Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 0 \Leftrightarrow x = - 1\)
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (-1; 0)
b) \(y = \frac{{2x}}{{3x - 1}}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ \frac{1}{3}\} \)
\(y' = \frac{{ - 2}}{{{{(3x - 1)}^2}}} \le 0\forall x \in D\) nên hàm số nghịch biến trên D
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x}}{{3x - 1}} = \frac{2}{3};\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x}}{{3x - 1}} = \frac{2}{3}\) nên y = \(\frac{2}{3}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{3}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{3}}^ + }} \frac{{2x}}{{3x - 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{3}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{3}}^ - }} \frac{{2x}}{{3x - 1}} = - \infty \) nên x = \(\frac{1}{3}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Khi x = 0 thì y = 0 nên (0; 0) là giao điểm của đồ thị với trục Oy
Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x}}{{3x - 1}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (0; 0)
c) \(y = \frac{{5 + x}}{{2 - x}}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 2\} \)
\(y' = \frac{7}{{{{(2 - x)}^2}}} \ge 0\forall x \in D\) nên hàm số đồng biến trên D
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{5 + x}}{{2 - x}} = - 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{5 + x}}{{2 - x}} = - 1\) nên y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \frac{{5 + x}}{{2 - x}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{2x}}{{3x - 1}} = + \infty \) nên x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Khi x = 0 thì y = \(\frac{5}{2}\) nên (0; \(\frac{5}{2}\)) là giao điểm của đồ thị với trục Oy
Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{5 + x}}{{2 - x}} = 0 \Leftrightarrow x = - 5\)
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (-5; 0)
Mục 3 trong SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo tập trung vào việc nghiên cứu về giới hạn của hàm số tại một điểm và giới hạn vô cực. Đây là một trong những khái niệm nền tảng quan trọng trong chương trình giải tích, đóng vai trò then chốt trong việc hiểu và giải quyết các bài toán về đạo hàm, tích phân và các ứng dụng của giải tích trong các lĩnh vực khác.
Để hiểu rõ về giới hạn của hàm số tại một điểm, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản sau:
Khi x tiến tới vô cực (dương hoặc âm), giá trị của hàm số có thể tiến tới một giá trị hữu hạn, tiến tới vô cực (dương hoặc âm) hoặc không có giới hạn. Việc xét giới hạn vô cực giúp chúng ta hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số khi x trở nên rất lớn hoặc rất nhỏ.
Bài tập 1: Tính limx→2 (x2 - 4) / (x - 2)
Lời giải: Ta có thể phân tích tử thức thành (x - 2)(x + 2). Khi đó:
limx→2 (x2 - 4) / (x - 2) = limx→2 (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = limx→2 (x + 2) = 4
Bài tập 2: Tính limx→∞ (2x + 1) / (x - 3)
Lời giải: Chia cả tử và mẫu cho x, ta được:
limx→∞ (2x + 1) / (x - 3) = limx→∞ (2 + 1/x) / (1 - 3/x) = (2 + 0) / (1 - 0) = 2
Các bài tập về giới hạn thường gặp các dạng sau:
Để giải quyết các bài tập này, cần nắm vững định nghĩa, tính chất của giới hạn và các kỹ năng biến đổi đại số, lượng giác. Ngoài ra, việc sử dụng máy tính bỏ túi hoặc các phần mềm hỗ trợ tính toán cũng có thể giúp tiết kiệm thời gian và tăng độ chính xác.
Khái niệm giới hạn có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:
Để nắm vững kiến thức về giới hạn, các em học sinh nên luyện tập thường xuyên các bài tập khác nhau, từ cơ bản đến nâng cao. Ngoài ra, việc tham khảo các tài liệu tham khảo, các bài giảng online và trao đổi với bạn bè, thầy cô cũng là những cách hiệu quả để củng cố kiến thức.
Montoan.com.vn hy vọng bài viết này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về mục 3 trang 28,29,30 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo và tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán.
