Lý thuyết Đường tiệm cận của đồ thị hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo
Lý thuyết Đường tiệm cận của đồ thị hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo
Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết đường tiệm cận trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo. Đây là một phần kiến thức quan trọng giúp bạn hiểu sâu hơn về đồ thị hàm số và ứng dụng trong giải toán.
Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ các khái niệm, định lý, và phương pháp tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số một cách chi tiết và dễ hiểu.
Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số 1. Đường tiệm cận đứng
1. Đường tiệm cận đứng
| Đường thẳng \(x = {x_0}\) gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = - \infty \). |
Ví dụ: Tìm TCĐ của đồ thị hàm số \(y = f(x) = \frac{{3 - x}}{{x + 2}}\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{3x - 2}}{{x + 2}} = + \infty \)
Vậy đồ thị hàm số có TCĐ là x = -2.
2. Đường tiệm cận ngang
| Đường thẳng \(y = {y_0}\) gọi là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = {y_0}\). |
Ví dụ: Tìm TCN của đồ thị hàm số \(y = f(x) = \frac{{3x - 2}}{{x + 1}}\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = 3\)
Vậy đồ thị hàm số f(x) có TCN là y = 3.
3. Đường tiệm cận xiên
Đường thẳng \(y = ax + b(a \ne 0)\) gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\). |
Ví dụ: Tìm TCX của đồ thị hàm số \(y = f(x) = x + \frac{1}{{x + 2}}\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{x + 2}} = 0\)
Vậy đồ thị hàm số có TCX là y = x.
Lý thuyết Đường tiệm cận của đồ thị hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo
Đường tiệm cận là một khái niệm quan trọng trong việc nghiên cứu đồ thị hàm số. Hiểu rõ về đường tiệm cận giúp ta phác họa chính xác hơn hình dạng đồ thị và dự đoán hành vi của hàm số khi x hoặc y tiến tới vô cùng.
1. Khái niệm đường tiệm cận
Đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) là đường thẳng mà đồ thị của hàm số tiếp cận khi x hoặc y tiến tới vô cùng.
- Tiệm cận đứng: Đường thẳng x = a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu limx→a+ f(x) = ±∞ hoặc limx→a- f(x) = ±∞.
- Tiệm cận ngang: Đường thẳng y = b là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu limx→+∞ f(x) = b hoặc limx→-∞ f(x) = b.
- Tiệm cận xiên: Đường thẳng y = ax + b (với a ≠ 0) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu limx→+∞ [f(x) - (ax + b)] = 0 hoặc limx→-∞ [f(x) - (ax + b)] = 0.
2. Phương pháp tìm đường tiệm cận
Để tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số, ta thực hiện các bước sau:
- Tìm tiệm cận đứng: Xác định các giá trị x mà mẫu số của hàm số bằng 0 và kiểm tra giới hạn của hàm số tại các giá trị đó.
- Tìm tiệm cận ngang: Tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới +∞ và -∞.
- Tìm tiệm cận xiên: Tính a = limx→+∞ f(x)/x và b = limx→+∞ [f(x) - ax]. Nếu a ≠ 0, thì y = ax + b là tiệm cận xiên.
3. Ví dụ minh họa
Xét hàm số y = (2x + 1) / (x - 1).
- Tiệm cận đứng: x = 1 (vì mẫu số bằng 0 khi x = 1).
- Tiệm cận ngang: y = 2 (vì limx→+∞ (2x + 1) / (x - 1) = 2).
- Tiệm cận xiên: Không có (vì a = 0).
4. Ứng dụng của đường tiệm cận
Đường tiệm cận có nhiều ứng dụng trong việc:
- Phác họa đồ thị hàm số một cách nhanh chóng và chính xác.
- Nghiên cứu hành vi của hàm số khi x hoặc y tiến tới vô cùng.
- Giải các bài toán liên quan đến giới hạn và đồ thị hàm số.
5. Bài tập luyện tập
Hãy tìm đường tiệm cận của các hàm số sau:
- y = (x + 2) / (x - 3)
- y = (3x2 + 1) / (x2 - 4)
- y = (x3) / (x2 + 1)
6. Lưu ý quan trọng
Khi tìm đường tiệm cận, cần chú ý đến điều kiện xác định của hàm số và kiểm tra các giới hạn một cách cẩn thận. Đôi khi, hàm số có thể không có tiệm cận hoặc có nhiều tiệm cận.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết đường tiệm cận của đồ thị hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!
