Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian - SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Bài 2 trong chương 5 của SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo tập 2 tập trung vào việc xây dựng và ứng dụng phương trình đường thẳng trong không gian. Đây là một phần kiến thức quan trọng, nền tảng cho việc học tập các chủ đề phức tạp hơn trong hình học không gian.

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Để xác định một đường thẳng trong không gian, chúng ta cần một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ chỉ phương. Vectơ chỉ phương là vectơ song song với đường thẳng đó. Nếu đường thẳng d đi qua điểm M₀(x₀, y₀, z₀) và có vectơ chỉ phương \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) thì phương trình tham số của đường thẳng d được cho bởi:

• x = x₀ + at
• y = y₀ + bt
• z = z₀ + ct

Trong đó, t là tham số thực.

2. Phương trình chính tắc của đường thẳng

Ngoài phương trình tham số, đường thẳng còn có thể được biểu diễn bằng phương trình chính tắc:

rac{x - x_0}{a_1} = rac{y - y_0}{a_2} = rac{z - z_0}{a_3}

Phương trình chính tắc chỉ xác định khi các thành phần của vectơ chỉ phương khác 0.

3. Các dạng phương trình khác của đường thẳng

Ngoài hai dạng phương trình trên, đường thẳng còn có thể được biểu diễn bằng:

• Phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng: Một đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng.
• Hệ phương trình đường thẳng: Biểu diễn đường thẳng bằng hệ phương trình tuyến tính.

4. Quan hệ giữa hai đường thẳng trong không gian

Trong không gian, hai đường thẳng có thể có các mối quan hệ sau:

• Song song: Hai đường thẳng không có điểm chung và vectơ chỉ phương của chúng cùng phương.
• Cắt nhau: Hai đường thẳng có một điểm chung duy nhất.
• Chéo nhau: Hai đường thẳng không có điểm chung và không song song.

5. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm A(1, 2, 3) và có vectơ chỉ phương \vec{a} = (4, 5, 6).

Giải:

Phương trình tham số: x = 1 + 4t, y = 2 + 5t, z = 3 + 6t.

Phương trình chính tắc: rac{x - 1}{4} = rac{y - 2}{5} = rac{z - 3}{6}.

Bài tập 2: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng:

d_1: rac{x - 1}{2} = rac{y + 1}{3} = rac{z - 2}{1}

d_2: rac{x - 3}{1} = rac{y - 2}{-1} = rac{z + 1}{2}

Giải:

Vectơ chỉ phương của d₁ là \vec{a_1} = (2, 3, 1), vectơ chỉ phương của d₂ là \vec{a_2} = (1, -1, 2). Vì \vec{a_1} và \vec{a_2} không cùng phương nên hai đường thẳng không song song.

Kiểm tra xem hai đường thẳng có cắt nhau hay không bằng cách giải hệ phương trình. Nếu hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì hai đường thẳng cắt nhau, nếu hệ phương trình vô nghiệm thì hai đường thẳng chéo nhau.

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về phương trình đường thẳng trong không gian, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Các em có thể tìm thấy các bài tập trong SGK, sách bài tập, hoặc trên các trang web học toán online như montoan.com.vn.

Hy vọng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian - SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!