THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 3 trang 22, 23, 24 sách giáo khoa Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải bài tập và tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những nội dung chất lượng, chính xác và cập nhật nhất để hỗ trợ tối đa cho các em học sinh.
Đường tiệm cận xiên
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 24 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 3x}}{{x + 5}}\)
Phương pháp giải:
Đường thẳng y = ax + b, a ≠ 0, được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } [f(x) - (ax + b)] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [f(x) - (ax + b)] = 0\)
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 5} \right\}\)
Ta có: \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{{2{x^2} - 3x}}{{x + 5}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^2} - 3x}}{{{x^2} + 5x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 - \frac{3}{x}}}{{1 + \frac{5}{x}}} = 2\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (y - ax) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\frac{{2{x^2} - 3x}}{{x + 5}} - 2x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 13x}}{{x + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 13}}{{1 + \frac{5}{x}}} = - 13\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [y - (ax + b)] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [y - (2x - 3)] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^2} - 3x}}{{x + 5}} - (2x - 13) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{65}}{{x + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{{65}}{x}}}{{1 + \frac{5}{x}}} = 0\)
Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng y = 2x - 13
Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 24 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Nếu trong một ngày, một xưởng sản xuất được x kilôgam sản phẩm thì chi phí trung bình (tính bằng nghìn đồng) cho một sản phẩm được cho bởi công thức: \(C(x) = \frac{{50x + 2000}}{x}\)
Tìm các đường tiệm cận của hàm số C(x).
Phương pháp giải:
- Đường thẳng x = a được gọi là một đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thoả mãn: \(\mathop {\lim f(x) = }\limits_{x \to {a^ - }} + \infty ,\mathop {\lim f(x) = }\limits_{x \to {a^ + }} + \infty ,\mathop {\lim f(x) = }\limits_{x \to {a^ - }} - \infty ,\mathop {\lim f(x) = }\limits_{x \to {a^ + }} - \infty \)
- Đường thẳng y = m được gọi là một đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = m\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = m\)
- Đường thẳng y = ax + b, a ≠ 0, được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } [f(x) - (ax + b)] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [f(x) - (ax + b)] = 0\)
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} C(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{50x + 2000}}{x} = \frac{{2000}}{0} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} C(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{50x + 2000}}{x} = \frac{{2000}}{0} = + \infty \)
Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng x = 0
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } C(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{50x + 2000}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{50 + \frac{{2000}}{x}}}{1} = 50\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } C(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{50x + 2000}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{50 + \frac{{2000}}{x}}}{1} = 50\)
Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng y = 50
Trả lời câu hỏi Khám phá 3 trang 22 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho đồ thị của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 1}}{x}\) và đường thẳng y = x. Đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x cắt đồ thị hàm số tại điểm M và cắt đường thẳng y = x tại điểm N (Hình 7).
a) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (\frac{{{x^2} + 1}}{x} - x)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\frac{{{x^2} + 1}}{x} - x)\)
b) Tính MN theo x và nhận xét về MN khi \(x \to + \infty \) hoặc \(x \to - \infty \)
Phương pháp giải:
Quan sát đồ thị
Lời giải chi tiết:
a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (\frac{{{x^2} + 1}}{x} - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + 1 - {x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{x} = 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\frac{{{x^2} + 1}}{x} - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 1 - {x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{x} = 0\)
Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x
b) MN = y – x = \(\frac{{{x^2} + 1}}{x} - x = \frac{1}{x}\)
Khi \(x \to + \infty \) hoặc \(x \to - \infty \) thì MN tiến dần về 0
Trả lời câu hỏi Khám phá 3 trang 22 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho đồ thị của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 1}}{x}\) và đường thẳng y = x. Đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x cắt đồ thị hàm số tại điểm M và cắt đường thẳng y = x tại điểm N (Hình 7).
a) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (\frac{{{x^2} + 1}}{x} - x)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\frac{{{x^2} + 1}}{x} - x)\)
b) Tính MN theo x và nhận xét về MN khi \(x \to + \infty \) hoặc \(x \to - \infty \)
Phương pháp giải:
Quan sát đồ thị
Lời giải chi tiết:
a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (\frac{{{x^2} + 1}}{x} - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + 1 - {x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{x} = 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\frac{{{x^2} + 1}}{x} - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 1 - {x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{x} = 0\)
Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x
b) MN = y – x = \(\frac{{{x^2} + 1}}{x} - x = \frac{1}{x}\)
Khi \(x \to + \infty \) hoặc \(x \to - \infty \) thì MN tiến dần về 0
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 24 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 3x}}{{x + 5}}\)
Phương pháp giải:
Đường thẳng y = ax + b, a ≠ 0, được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } [f(x) - (ax + b)] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [f(x) - (ax + b)] = 0\)
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 5} \right\}\)
Ta có: \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{{2{x^2} - 3x}}{{x + 5}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^2} - 3x}}{{{x^2} + 5x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 - \frac{3}{x}}}{{1 + \frac{5}{x}}} = 2\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (y - ax) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\frac{{2{x^2} - 3x}}{{x + 5}} - 2x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 13x}}{{x + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 13}}{{1 + \frac{5}{x}}} = - 13\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [y - (ax + b)] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [y - (2x - 3)] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^2} - 3x}}{{x + 5}} - (2x - 13) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{65}}{{x + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{{65}}{x}}}{{1 + \frac{5}{x}}} = 0\)
Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng y = 2x - 13
Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 24 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Nếu trong một ngày, một xưởng sản xuất được x kilôgam sản phẩm thì chi phí trung bình (tính bằng nghìn đồng) cho một sản phẩm được cho bởi công thức: \(C(x) = \frac{{50x + 2000}}{x}\)
Tìm các đường tiệm cận của hàm số C(x).
Phương pháp giải:
- Đường thẳng x = a được gọi là một đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thoả mãn: \(\mathop {\lim f(x) = }\limits_{x \to {a^ - }} + \infty ,\mathop {\lim f(x) = }\limits_{x \to {a^ + }} + \infty ,\mathop {\lim f(x) = }\limits_{x \to {a^ - }} - \infty ,\mathop {\lim f(x) = }\limits_{x \to {a^ + }} - \infty \)
- Đường thẳng y = m được gọi là một đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = m\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = m\)
- Đường thẳng y = ax + b, a ≠ 0, được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } [f(x) - (ax + b)] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [f(x) - (ax + b)] = 0\)
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} C(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{50x + 2000}}{x} = \frac{{2000}}{0} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} C(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{50x + 2000}}{x} = \frac{{2000}}{0} = + \infty \)
Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng x = 0
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } C(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{50x + 2000}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{50 + \frac{{2000}}{x}}}{1} = 50\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } C(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{50x + 2000}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{50 + \frac{{2000}}{x}}}{1} = 50\)
Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng y = 50
Mục 3 trong SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo tập trung vào việc nghiên cứu về giới hạn của hàm số tại một điểm và giới hạn vô cực. Đây là một trong những khái niệm nền tảng quan trọng của giải tích, đóng vai trò then chốt trong việc hiểu và giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm, tích phân và các ứng dụng của chúng.
Mục 3 được chia thành các phần chính sau:
Trang 22 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo chứa các bài tập vận dụng kiến thức về giới hạn của hàm số tại một điểm. Các bài tập này yêu cầu các em phải hiểu rõ định nghĩa và các tính chất của giới hạn để giải quyết một cách chính xác.
Ví dụ, bài tập 1 yêu cầu tính giới hạn của hàm số f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) khi x tiến tới 1. Để giải bài tập này, các em có thể sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và rút gọn biểu thức.
Trang 23 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo chứa các bài tập vận dụng kiến thức về giới hạn vô cực. Các bài tập này yêu cầu các em phải hiểu rõ khái niệm giới hạn vô cực và các quy tắc tính giới hạn.
Ví dụ, bài tập 2 yêu cầu tính giới hạn của hàm số f(x) = (2x + 1) / (x - 3) khi x tiến tới vô cực. Để giải bài tập này, các em có thể chia cả tử và mẫu cho x và sử dụng quy tắc giới hạn của tỷ số.
Trang 24 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo chứa các bài tập tổng hợp về giới hạn. Các bài tập này yêu cầu các em phải vận dụng linh hoạt các kiến thức và kỹ năng đã học để giải quyết một cách hiệu quả.
Ví dụ, bài tập 3 yêu cầu tính giới hạn của hàm số f(x) = sin(x) / x khi x tiến tới 0. Để giải bài tập này, các em có thể sử dụng định lý giới hạn đặc biệt của sin(x) / x.
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài tập trong mục 3 trang 22, 23, 24 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
