Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số - Giải Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Chương 1 trong sách Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo là nền tảng quan trọng để học sinh nắm vững phương pháp khảo sát hàm số bằng đạo hàm. Việc hiểu rõ các khái niệm và kỹ năng trong chương này sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số một cách hiệu quả và chính xác.

I. Các khái niệm cơ bản về đạo hàm

Đạo hàm của một hàm số tại một điểm là tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại điểm đó. Đạo hàm được ký hiệu là f'(x) hoặc dy/dx. Để tính đạo hàm, chúng ta sử dụng các quy tắc đạo hàm cơ bản như quy tắc lũy thừa, quy tắc tích, quy tắc thương và quy tắc chuỗi.

II. Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số

Cực trị của hàm số là các điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trong một khoảng nào đó. Để tìm cực trị của hàm số, chúng ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm f'(x) của hàm số.
2. Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm dừng.
3. Khảo sát dấu của f'(x) trên các khoảng xác định để xác định các điểm cực đại và cực tiểu.

III. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát tính đơn điệu của hàm số

Hàm số được gọi là đồng biến trên một khoảng nếu đạo hàm của nó dương trên khoảng đó. Hàm số được gọi là nghịch biến trên một khoảng nếu đạo hàm của nó âm trên khoảng đó. Để khảo sát tính đơn điệu của hàm số, chúng ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm f'(x) của hàm số.
2. Xác định các khoảng mà f'(x) > 0 (hàm số đồng biến) và f'(x) < 0 (hàm số nghịch biến).

IV. Ứng dụng đạo hàm để tìm điểm uốn của hàm số

Điểm uốn của hàm số là điểm mà tại đó đồ thị hàm số thay đổi từ lồi sang lõm hoặc ngược lại. Để tìm điểm uốn của hàm số, chúng ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm bậc hai f''(x) của hàm số.
2. Giải phương trình f''(x) = 0 để tìm các điểm có thể là điểm uốn.
3. Khảo sát dấu của f''(x) trên các khoảng xác định để xác định các điểm uốn.

V. Khảo sát hàm số bằng đạo hàm - Quy trình tổng quát

Để khảo sát một hàm số bằng đạo hàm, chúng ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm f'(x) và f''(x).
3. Tìm các điểm dừng, điểm cực trị và điểm uốn.
4. Khảo sát tính đơn điệu và giới hạn của hàm số.
5. Vẽ đồ thị hàm số.

VI. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Khảo sát hàm số y = x³ - 3x² + 2

Giải:

• Tập xác định: R
• Đạo hàm: y' = 3x² - 6x
• Giải y' = 0 => x = 0 hoặc x = 2
• Khảo sát dấu y': Hàm số đồng biến trên (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên (0; 2)
• Điểm cực đại: (0; 2), Điểm cực tiểu: (2; -2)
• Đạo hàm bậc hai: y'' = 6x - 6
• Giải y'' = 0 => x = 1
• Điểm uốn: (1; 0)

Bài tập 2: (Tương tự, giải một bài tập khác)

VII. Lời khuyên khi học chương 1

Để học tốt chương 1, các em cần:

• Nắm vững các khái niệm cơ bản về đạo hàm.
• Luyện tập nhiều bài tập để làm quen với các kỹ năng khảo sát hàm số.
• Sử dụng các công cụ hỗ trợ như máy tính bỏ túi hoặc phần mềm vẽ đồ thị để kiểm tra kết quả.

Hy vọng với những kiến thức và bài giải chi tiết trên, các em sẽ tự tin chinh phục chương 1 môn Toán 12 Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tốt!