Giải bài tập 5 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Giải bài tập 5 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài tập 5 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học hiện hành. Hãy cùng montoan.com.vn khám phá lời giải chi tiết ngay sau đây!
Cho hàm số: (y = frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}}) a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. b) Tìm toạ độ trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Có nhận xét gì về điểm này?
Đề bài
Cho hàm số: \(y = \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}}\)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b) Tìm toạ độ trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Có nhận xét gì về điểm này?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số
− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu của hàm số.
− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có)
− Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số
− Xác định các giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ
− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Vẽ đồ thị hàm số.
b) Tọa độ của trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm có hoành độ bằng trung bình cộng hoành độ 2 điểm, tung độ bằng trung bình cộng trung bình 2 điểm
Lời giải chi tiết
a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ - 2\} \)
- Chiều biến thiên:
\(y' = \frac{{ - {x^2} - 4x + 5}}{{{{(x + 2)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 5\\x = 1\end{array} \right.\)
Trên các khoảng (\( - \infty \); -5), (1; \( + \infty \)) thì y' > 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (-5; -2) và (-2;1) thì y' < 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.
- Giới hạn và tiệm cận:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}} = + \infty \)
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{{x^2} + 2x}} = - 1;b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} + x) = 5\) nên y = -x + 5 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} = + \infty \) nên x = -2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
- Bảng biến thiên:
Khi x = 0 thì y = \(\frac{1}{2}\) nên (0; \(\frac{1}{2}\)) là giao điểm của y với trục Oy
b) Hàm số đạt cực tiểu tại x = -5 và \({y_{ct}} = 13\)
Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và \({y_{cd}} = 1\)
Trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có tọa độ là \((\frac{{ - 5 + 1}}{2};\frac{{13 + 1}}{2}) = ( - 2;7)\). Điểm này là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
Giải bài tập 5 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Tổng quan
Bài tập 5 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo thuộc chương 1: Hàm số và đồ thị. Bài tập này tập trung vào việc xét tính đơn điệu của hàm số, sử dụng đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm là yếu tố then chốt để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả.
Nội dung bài tập 5 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Bài tập 5 yêu cầu học sinh xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
- f(x) = 2x3 - 3x2 + 1
- g(x) = x4 - 4x3 + 4x2
- h(x) = -x3 + 3x2 - 2
Phương pháp giải bài tập xét tính đơn điệu của hàm số
Để xét tính đơn điệu của hàm số, ta thực hiện các bước sau:
- Tính đạo hàm f'(x): Đây là bước quan trọng nhất, cần tính chính xác đạo hàm của hàm số.
- Tìm tập xác định của hàm số: Xác định khoảng mà hàm số có nghĩa.
- Giải phương trình f'(x) = 0: Tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0, đây là các điểm cực trị hoặc điểm dừng của hàm số.
- Xét dấu f'(x) trên các khoảng xác định: Sử dụng bảng xét dấu để xác định dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định.
- Kết luận về tính đơn điệu:
- Nếu f'(x) > 0 trên một khoảng, hàm số đồng biến trên khoảng đó.
- Nếu f'(x) < 0 trên một khoảng, hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
Lời giải chi tiết bài tập 5 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
a) Giải f(x) = 2x3 - 3x2 + 1
f'(x) = 6x2 - 6x = 6x(x - 1)
f'(x) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1
Bảng xét dấu:
| x | -∞ | 0 | 1 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | |
| f(x) | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến |
Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (1; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 1).
b) Giải g(x) = x4 - 4x3 + 4x2
g'(x) = 4x3 - 12x2 + 8x = 4x(x2 - 3x + 2) = 4x(x - 1)(x - 2)
g'(x) = 0 ⇔ x = 0, x = 1, x = 2
Bảng xét dấu:
| x | -∞ | 0 | 1 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|---|
| g'(x) | - | + | - | + | |
| g(x) | Nghịch biến | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến |
Kết luận: Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 0) và (1; 2), đồng biến trên các khoảng (0; 1) và (2; +∞).
c) Giải h(x) = -x3 + 3x2 - 2
h'(x) = -3x2 + 6x = -3x(x - 2)
h'(x) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
Bảng xét dấu:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| h'(x) | - | + | - | |
| h(x) | Nghịch biến | Đồng biến | Nghịch biến |
Kết luận: Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞), đồng biến trên khoảng (0; 2).
Lưu ý khi giải bài tập xét tính đơn điệu
- Luôn kiểm tra tập xác định của hàm số trước khi tính đạo hàm.
- Tính đạo hàm chính xác và cẩn thận.
- Sử dụng bảng xét dấu một cách khoa học để xác định dấu của đạo hàm.
- Kết luận về tính đơn điệu của hàm số dựa trên dấu của đạo hàm.
Tổng kết
Bài tập 5 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng xét tính đơn điệu của hàm số. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày trên đây, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập tương tự.
