Bài 1. Vectơ và các phép toán trong không gian

Bài 1. Vectơ và các phép toán trong không gian - Giải Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Bài 1 trong chương 2 của sách Toán 12 Chân trời sáng tạo tập 1 giới thiệu về vectơ trong không gian, một khái niệm quan trọng trong hình học giải tích. Bài học này đặt nền móng cho việc hiểu và giải quyết các bài toán liên quan đến hình học không gian.

1. Khái niệm vectơ trong không gian

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Nó được xác định bởi điểm gốc và điểm cuối. Vectơ được ký hiệu là AB, trong đó A là điểm gốc và B là điểm cuối. Vectơ có các đặc trưng là độ dài và hướng.

2. Các phép toán trên vectơ

Trong không gian, chúng ta có thể thực hiện các phép toán cơ bản trên vectơ:

• Phép cộng vectơ:AB + CD được thực hiện theo quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc tam giác.
• Phép trừ vectơ:AB - CD tương đương với AB + DC.
• Phép nhân vectơ với một số thực:k.AB (với k là một số thực) làm thay đổi độ dài của vectơ. Nếu k > 0, hướng của vectơ không đổi. Nếu k < 0, hướng của vectơ ngược lại.

3. Tính chất của các phép toán trên vectơ

Các phép toán trên vectơ tuân theo các tính chất sau:

• Tính giao hoán của phép cộng:AB + CD = CD + AB
• Tính kết hợp của phép cộng:(AB + CD) + EF = AB + (CD + EF)
• Tính chất của phần tử đơn vị:AB + 0 = AB (với 0 là vectơ không)
• Tính chất của phần tử đối:AB + (-AB) = 0
• Tính chất phân phối của phép nhân với một số thực đối với phép cộng:k(AB + CD) = k.AB + k.CD
• Tính chất kết hợp của phép nhân với một số thực:(k.l).AB = k.(l.AB)

4. Ví dụ minh họa

Cho hai vectơ a = (1; 2; 3) và b = (4; 5; 6). Hãy tính:

• a + b
• a - b
• 2a

Giải:

• a + b = (1+4; 2+5; 3+6) = (5; 7; 9)
• a - b = (1-4; 2-5; 3-6) = (-3; -3; -3)
• 2a = (2*1; 2*2; 2*3) = (2; 4; 6)

5. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:

1. Cho hai vectơ u = (2; -1; 0) và v = (-1; 3; 2). Tính 2u - v.
2. Tìm vectơ x sao cho x + (1; 2; -1) = (3; 0; 4).

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về vectơ và các phép toán trong không gian. Chúc các em học tốt!