THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Tọa độ của Vectơ trong Không Gian, một phần quan trọng của chương trình Toán 12 Chân Trời Sáng Tạo. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và các công cụ cần thiết để giải quyết các bài toán liên quan đến vectơ trong không gian.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá cách biểu diễn vectơ trong không gian bằng tọa độ, các phép toán trên vectơ biểu diễn bằng tọa độ, và ứng dụng của lý thuyết này trong việc giải quyết các bài toán hình học không gian.
Bài 2. Tọa độ của vecto trong không gian 1. Hệ trục tọa độ trong không gian
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
| Trong không gian, cho ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc. Gọi \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) lần lượt là ba vecto đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, hay đơn giản gọi là hệ tọa độ Oxyz. |
2. Tọa độ của điểm và vecto
a) Tọa độ của điểm
| Trong không gian Oxyz, cho điểm M. Nếu \[\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \] thì ta gọi bộ ba số (x;y;z) là tọa độ điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz và viết M = (x;y;z) hoặc M (x;y;z); x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của điểm M. |
b) Tọa độ của vecto
| Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow a \). Nếu \(\overrightarrow a = {a_1}\overrightarrow i + {a_2}\overrightarrow j + {a_3}\overrightarrow k \) thì ta gọi bộ ba số \(\left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) là tọa độ của \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz và viết \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) hoặc \(\overrightarrow a \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\). |
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C có A(1;0;2), B(3;2;5), C(7;-3;9)
a) Tìm tọa độ của \(\overrightarrow {AA'} .\)
b) Tìm tọa độ của các điểm B’, C’.
Lời giải
a) Ta có: \(\overrightarrow {AA'} = ({x_{A'}} - {x_A};{y_{A'}} - {y_A};{z_{A'}} - {z_A}) = (4;0; - 1)\).
b) Gọi tọa độ của điểm B’ là (x,y,z) thì \(\overrightarrow {BB'} \) = (x - 3; y - 2; z - 5). Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên ABB’A’ là hình bình hành, suy ra \(\overrightarrow {AA'} \) = \(\overrightarrow {BB'} .\)
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 4\\y - 2 = 0\\z - 5 = - 1\end{array} \right.\) hay x = 7, y = 2, z = 4.
Vậy B’(7;2;4).
Lập luận tương tự suy ra C’ (11;-3;8).
Trong không gian Oxyz, mỗi điểm được xác định duy nhất bởi bộ ba tọa độ (x; y; z). Vectơ trong không gian cũng có thể được biểu diễn bằng tọa độ, giúp cho việc tính toán và giải quyết các bài toán trở nên dễ dàng hơn.
Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Nó được xác định bởi điểm gốc và điểm cuối. Vectơ được ký hiệu là AB, trong đó A là điểm gốc và B là điểm cuối.
Cho hai điểm A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; zB). Vectơ AB có tọa độ là:
AB = (xB - xA; yB - yA; zB - zA)
Ký hiệu: AB = (a; b; c), trong đó a = xB - xA, b = yB - yA, c = zB - zA.
Cho hai vectơ a = (a1; a2; a3) và b = (b1; b2; b3). Tích vô hướng của a và b được tính bằng:
a ⋅ b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Ứng dụng của tích vô hướng:
Bài 1: Cho A(1; 2; 3) và B(4; 5; 6). Tìm tọa độ của vectơ AB.
Giải:AB = (4 - 1; 5 - 2; 6 - 3) = (3; 3; 3)
Bài 2: Cho a = (1; -2; 3) và b = (2; 1; -1). Tính a ⋅ b.
Giải:a ⋅ b = (1)(2) + (-2)(1) + (3)(-1) = 2 - 2 - 3 = -3
Lý thuyết Tọa độ của Vectơ trong Không Gian là một công cụ quan trọng trong việc giải quyết các bài toán hình học không gian. Việc nắm vững các khái niệm và công thức liên quan sẽ giúp bạn tự tin hơn trong quá trình học tập và làm bài tập.
