THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 5 trang 32, 33, 34 sách giáo khoa Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Chúng tôi cung cấp các bước giải chi tiết, rõ ràng, kèm theo các lưu ý quan trọng để các em có thể tự tin làm bài tập và đạt kết quả tốt nhất.
Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn
Trả lời câu hỏi Thực hành 5 trang 35 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có thể tích 500\(c{m^3}\) với yêu cầu dùng ít vật liệu nhất. Chiều cao hộp phải là 2 cm, các kích thước khác là x, y với x > 0 và y > 0.
a) Hãy biểu thị y theo x
b) Chứng tỏ rằng diện tích toàn phần của chiếc hộp là: \(S(x) = 500 + 4x + \frac{{1000}}{x}\)
c) Lập bảng biến thiên của hàm số S(x) trên khoảng (0; \( + \infty \)).
d) Kích thước của hộp là bao nhiêu thì dùng ít vật liệu nhất? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)
Phương pháp giải:
a) Dựa vào công thức thể tích hình hộp chữ nhật V = xyh, từ đó suy ra mối liên hệ giữa x và y
b) Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật: \({S_{tp}} = 2h(x + y) + 2xy\)
c) Lập bảng biến thiên và tìm giá trị nhỏ nhất của \({S_{tp}}\) trên tập xác định
Lời giải chi tiết:
a) \(y = \frac{{500}}{{2x}} = \frac{{250}}{x}\)
b) Diện tích toàn phần của chiếc hộp là: \(S(x) = 2.2(x + y) + 2xy = 4(x + \frac{{250}}{x}) + 2.x.\frac{{250}}{x} = 500 + 4x + \frac{{1000}}{x}\)
c) Tập xác định: \(D = (0; + \infty )\)
\(S'(x) = 4 - \frac{{1000}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\sqrt {10} \\x = - 5\sqrt {10} (loai)\end{array} \right.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } S(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (500 + 4x + \frac{{1000}}{x}) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } S(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (500 + 4x + \frac{{1000}}{x}) = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} S(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (500 + 4x + \frac{{1000}}{x}) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} S(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} (500 + 4x + \frac{{1000}}{x}) = - \infty \)
Bảng biến thiên:
d) Để S(x) nhỏ nhất thì x = \(15,8\)(cm) và \(y = \frac{{250}}{x} = \frac{{250}}{{5\sqrt {10} }} \approx 15,8\)(cm)
Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 35SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Xét một vật thật đặt trước thấu kính hội tụ có tiêu cự f > 0. Gọi d là khoảng cách từ vật đến thấu kính (d > 0), d’ là khoảng cách từ thấu kính đến ảnh (ảnh thật thì d’ > 0, ảnh ảo thì d’ < 0). Ta có công thức:
\(\frac{1}{f} = \frac{1}{d} + \frac{1}{{{d'}}}\) hay \(d' = \frac{{df}}{{d - f}}\)
(Vật lí 11, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2012, trang 182, 187)
Xét trường hợp f = 3, đặt x = d, y = d’. Ta có hàm số \(y = \frac{{3x}}{{x - 3}}\) và \(x \ne 3\).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số trên.
b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, hãy cho biết vị trí của vật để ảnh của vật là: ảnh thật, ảnh ảo.
c) Khi vật tiến gần đến tiêu điểm thì ảnh thay đổi như thế nào?
Phương pháp giải:
a) Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số
− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.
− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số
− Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ
− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Vẽ đồ thị hàm số.
b) Ảnh ảo nếu d’ < 0 và ảnh thật nếu d’ > 0
c) Tìm giới hạn của d’ khi d tiến dần đến f
Lời giải chi tiết:
a) \(y = \frac{{3x}}{{x - 3}}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 3\} \)
\(y' = \frac{{ - 9}}{{{{(x - 3)}^2}}} \le 0 \Leftrightarrow \forall x \in D\) nên hàm số nghịch biến trên \(D\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x}}{{x - 3}} = 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (\frac{{3x}}{{x - 3}}) = 3\) nên y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{3x}}{{x - 3}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{3x}}{{x - 3}} = - \infty \) nên x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Khi x = 0 thì y = 0 nên (0;0) là giao điểm của y với trục Oy, Ox
b) Để ảnh của vật là ảnh thật thì d’ > 0 hay y > 0 => x < 0 hoặc x > 3 hay d > 3 (do d là khoảng cách từ vật đến thấu kính nên d không thể nhỏ hơn 0)
Để ảnh của vật là ảnh ảo thì d’ < 0 hay y < 0 => 0 < x < 3 hay 0 < d < 3
c) Khi vật tiến gần đến tiêu điểm thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính tiến dần tới vô cùng, ảnh của vật dần biến thành ảnh ảo
Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 35SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Xét một vật thật đặt trước thấu kính hội tụ có tiêu cự f > 0. Gọi d là khoảng cách từ vật đến thấu kính (d > 0), d’ là khoảng cách từ thấu kính đến ảnh (ảnh thật thì d’ > 0, ảnh ảo thì d’ < 0). Ta có công thức:
\(\frac{1}{f} = \frac{1}{d} + \frac{1}{{{d'}}}\) hay \(d' = \frac{{df}}{{d - f}}\)
(Vật lí 11, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2012, trang 182, 187)
Xét trường hợp f = 3, đặt x = d, y = d’. Ta có hàm số \(y = \frac{{3x}}{{x - 3}}\) và \(x \ne 3\).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số trên.
b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, hãy cho biết vị trí của vật để ảnh của vật là: ảnh thật, ảnh ảo.
c) Khi vật tiến gần đến tiêu điểm thì ảnh thay đổi như thế nào?
Phương pháp giải:
a) Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số
− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.
− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số
− Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ
− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Vẽ đồ thị hàm số.
b) Ảnh ảo nếu d’ < 0 và ảnh thật nếu d’ > 0
c) Tìm giới hạn của d’ khi d tiến dần đến f
Lời giải chi tiết:
a) \(y = \frac{{3x}}{{x - 3}}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 3\} \)
\(y' = \frac{{ - 9}}{{{{(x - 3)}^2}}} \le 0 \Leftrightarrow \forall x \in D\) nên hàm số nghịch biến trên \(D\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x}}{{x - 3}} = 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (\frac{{3x}}{{x - 3}}) = 3\) nên y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{3x}}{{x - 3}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{3x}}{{x - 3}} = - \infty \) nên x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Khi x = 0 thì y = 0 nên (0;0) là giao điểm của y với trục Oy, Ox
b) Để ảnh của vật là ảnh thật thì d’ > 0 hay y > 0 => x < 0 hoặc x > 3 hay d > 3 (do d là khoảng cách từ vật đến thấu kính nên d không thể nhỏ hơn 0)
Để ảnh của vật là ảnh ảo thì d’ < 0 hay y < 0 => 0 < x < 3 hay 0 < d < 3
c) Khi vật tiến gần đến tiêu điểm thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính tiến dần tới vô cùng, ảnh của vật dần biến thành ảnh ảo
Trả lời câu hỏi Thực hành 5 trang 35 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có thể tích 500\(c{m^3}\) với yêu cầu dùng ít vật liệu nhất. Chiều cao hộp phải là 2 cm, các kích thước khác là x, y với x > 0 và y > 0.
a) Hãy biểu thị y theo x
b) Chứng tỏ rằng diện tích toàn phần của chiếc hộp là: \(S(x) = 500 + 4x + \frac{{1000}}{x}\)
c) Lập bảng biến thiên của hàm số S(x) trên khoảng (0; \( + \infty \)).
d) Kích thước của hộp là bao nhiêu thì dùng ít vật liệu nhất? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)
Phương pháp giải:
a) Dựa vào công thức thể tích hình hộp chữ nhật V = xyh, từ đó suy ra mối liên hệ giữa x và y
b) Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật: \({S_{tp}} = 2h(x + y) + 2xy\)
c) Lập bảng biến thiên và tìm giá trị nhỏ nhất của \({S_{tp}}\) trên tập xác định
Lời giải chi tiết:
a) \(y = \frac{{500}}{{2x}} = \frac{{250}}{x}\)
b) Diện tích toàn phần của chiếc hộp là: \(S(x) = 2.2(x + y) + 2xy = 4(x + \frac{{250}}{x}) + 2.x.\frac{{250}}{x} = 500 + 4x + \frac{{1000}}{x}\)
c) Tập xác định: \(D = (0; + \infty )\)
\(S'(x) = 4 - \frac{{1000}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\sqrt {10} \\x = - 5\sqrt {10} (loai)\end{array} \right.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } S(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (500 + 4x + \frac{{1000}}{x}) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } S(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (500 + 4x + \frac{{1000}}{x}) = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} S(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (500 + 4x + \frac{{1000}}{x}) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} S(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} (500 + 4x + \frac{{1000}}{x}) = - \infty \)
Bảng biến thiên:
d) Để S(x) nhỏ nhất thì x = \(15,8\)(cm) và \(y = \frac{{250}}{x} = \frac{{250}}{{5\sqrt {10} }} \approx 15,8\)(cm)
Mục 5 trong SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo tập trung vào việc nghiên cứu về giới hạn của hàm số tại một điểm và giới hạn vô cực. Đây là một trong những khái niệm nền tảng quan trọng trong giải tích, đóng vai trò then chốt trong việc hiểu và giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm, tích phân và các ứng dụng của chúng.
Bài 1: Tính giới hạn lim (x -> 2) (x^2 - 4) / (x - 2). Giải: Ta có (x^2 - 4) / (x - 2) = (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = x + 2 (với x ≠ 2). Do đó, lim (x -> 2) (x^2 - 4) / (x - 2) = lim (x -> 2) (x + 2) = 4.
Bài 2: Tính giới hạn lim (x -> 1) (x^3 - 1) / (x - 1). Giải: Tương tự bài 1, ta có (x^3 - 1) / (x - 1) = (x - 1)(x^2 + x + 1) / (x - 1) = x^2 + x + 1 (với x ≠ 1). Do đó, lim (x -> 1) (x^3 - 1) / (x - 1) = lim (x -> 1) (x^2 + x + 1) = 3.
Bài 3: Tính giới hạn lim (x -> 0) sin(x) / x. Giải: Đây là một giới hạn cơ bản, lim (x -> 0) sin(x) / x = 1.
Bài 4: Tính giới hạn lim (x -> 0) (1 - cos(x)) / x. Giải: Đây cũng là một giới hạn cơ bản, lim (x -> 0) (1 - cos(x)) / x = 0.
Bài 5: Cho hàm số f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1). Tính lim (x -> 1) f(x). Giải: f(x) = (x - 1)(x + 1) / (x - 1) = x + 1 (với x ≠ 1). Do đó, lim (x -> 1) f(x) = lim (x -> 1) (x + 1) = 2.
Bài 6: Cho hàm số f(x) = (x^3 - 8) / (x - 2). Tính lim (x -> 2) f(x). Giải: f(x) = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) / (x - 2) = x^2 + 2x + 4 (với x ≠ 2). Do đó, lim (x -> 2) f(x) = lim (x -> 2) (x^2 + 2x + 4) = 12.
Việc nắm vững kiến thức về giới hạn là rất quan trọng để học tốt môn Toán 12. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập về giới hạn trong SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo.
