Lý thuyết Nguyên hàm Toán 12 Chân trời sáng tạo
Lý thuyết Nguyên hàm Toán 12 Chân trời sáng tạo
Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Nguyên hàm trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo. Đây là một trong những chủ đề quan trọng và nền tảng của chương trình tích phân.
Bài học này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức cơ bản về nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm và các phương pháp tìm nguyên hàm của một hàm số.
Chúng tôi sẽ trình bày lý thuyết một cách dễ hiểu, kèm theo các ví dụ minh họa cụ thể để giúp bạn nắm vững kiến thức.
1. Khái niệm nguyên hàm
1. Khái niệm nguyên hàm
| Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x)=f(x) với mọi x thuộc K. |
Chú ý:
Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó:
a) Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K
b) Nếu hàm số G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao chp G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K
Như vậy, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C (C là hằng số). Ta gọi F(x) + C là họ các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu bởi \(\int {f(x)dx} \)
2. Nguyên hàm của một số hàm sơ cấp
a) Nguyên hàm của hàm số lũy thừa
+ \(\int {0dx = C} \) + \(\int {1dx = x + C} \) + \(\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C(\alpha \ne - 1)} \) |
b) Nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{1}{x}\)
| \(\int {\frac{1}{x}x = \ln \left| x \right| + C} \) |
c) Nguyên hàm của một số hàm số lượng giác
+ \(\int {\cos xdx = \sin x + C} \) + (\int {\sin xdx = - \cos x + C} \) + \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C} \) + \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = - \cot x + C} \) |
d) Nguyên hàm của hàm số mũ
+ \(\int {{e^x}dx = {e^x} + C} \) + \(\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C(0 < a \ne 1)} \) |
3. Tính chất cơ bản của nguyên hàm
+ \(\int {kf(x)dx = k\int {f(x)dx(k \ne 0)} } \) + \(\int {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int {f(x)dx + \int {g(x)dx} } \) + \(\int {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx = \int {f(x)dx - \int {g(x)dx} } \) |
Lý thuyết Nguyên hàm Toán 12 Chân trời sáng tạo
Nguyên hàm là một khái niệm quan trọng trong giải tích, đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết các bài toán tích phân. Hiểu rõ lý thuyết nguyên hàm là nền tảng để học tốt chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo.
1. Định nghĩa Nguyên hàm
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K. Ký hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C, trong đó C là hằng số tích phân.
2. Tính chất của Nguyên hàm
- Tính chất 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) với mọi hằng số C.
- Tính chất 2: ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
- Tính chất 3: ∫k.f(x)dx = k∫f(x)dx (với k là hằng số)
3. Các Nguyên hàm cơ bản
Dưới đây là bảng các nguyên hàm cơ bản thường gặp:
| Hàm số f(x) | Nguyên hàm F(x) |
|---|---|
| xn (n ≠ -1) | (xn+1)/(n+1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| ex | ex + C |
| sin(x) | -cos(x) + C |
| cos(x) | sin(x) + C |
4. Phương pháp tìm Nguyên hàm
Có nhiều phương pháp để tìm nguyên hàm, trong đó phổ biến nhất là:
- Phương pháp đặt ẩn phụ: Sử dụng khi biểu thức dưới dấu tích phân có dạng phức tạp.
- Phương pháp tích phân từng phần: Sử dụng khi hàm số dưới dấu tích phân là tích của hai hàm số. Công thức: ∫u dv = uv - ∫v du
- Phương pháp đổi biến số: Sử dụng khi biểu thức dưới dấu tích phân có thể được đơn giản hóa bằng cách đổi biến.
5. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm ∫(2x + 3)dx
Giải: ∫(2x + 3)dx = ∫2xdx + ∫3dx = 2∫xdx + 3∫dx = 2(x2/2) + 3x + C = x2 + 3x + C
Ví dụ 2: Tìm ∫x.exdx (sử dụng tích phân từng phần)
Giải: Đặt u = x, dv = exdx. Suy ra du = dx, v = ex. Áp dụng công thức tích phân từng phần: ∫x.exdx = x.ex - ∫exdx = x.ex - ex + C
6. Luyện tập và Bài tập
Để nắm vững kiến thức về nguyên hàm, bạn nên luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau. Hãy tìm kiếm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán online.
7. Kết luận
Lý thuyết Nguyên hàm là một phần quan trọng của chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo. Việc hiểu rõ các định nghĩa, tính chất và phương pháp tìm nguyên hàm sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán tích phân một cách hiệu quả. Chúc bạn học tốt!
