Giải bài tập 7 trang 18 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Hộp sữa \(1l\) được thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh x cm. Tìm x để diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 7 trang 18 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo 1

Tìm mối liên hệ giữa chiều cao và cạnh đáy, từ đó lập hàm số biểu diễn diện tích toàn phần của hộp theo x. Sau đó tìm đạo hàm, lập bảng biến thiên và xác định giá trị nhỏ nhất

Lời giải chi tiết

Gọi chiều cao của hộp là h (cm)

Thể tích của hộp là: \(V = h.{x^2} = 1 \Leftrightarrow h = \frac{1}{{{x^2}}}\)

Diện tích toàn phần của hộp là: \(y = {S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_{day}} = 4hx + 2{x^2} = 4.\frac{1}{{{x^2}}}.x + 2{x^2} = 2{x^2} + \frac{4}{x}\)

Tập xác định: \(D = (0; + \infty )\)

\(y' = 4x - \frac{4}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Bảng biến thiên:

Giải bài tập 7 trang 18 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo 2

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_D y = y(1) = 6\)

Vậy x = 1cm thì diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất và bằng 6 \(c{m^2}\)

Giải bài tập 7 trang 18 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Tổng quan

Bài tập 7 trang 18 SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo thuộc chương 1: Hàm số và đồ thị. Bài tập này tập trung vào việc vận dụng kiến thức về hàm số bậc hai, bao gồm xác định hệ số, tìm tập xác định, tập giá trị, và vẽ đồ thị hàm số.

Nội dung bài tập 7 trang 18 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Bài tập 7 yêu cầu học sinh xét hàm số f(x) = -2x² + 4x - 1 và thực hiện các yêu cầu sau:

Xác định hệ số a, b, c của hàm số.
Xác định đỉnh của parabol.
Tìm trục đối xứng của parabol.
Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết bài tập 7 trang 18 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo

1. Xác định hệ số a, b, c:

Hàm số f(x) = -2x² + 4x - 1 có:

a = -2
b = 4
c = -1

2. Xác định đỉnh của parabol:

Hoành độ đỉnh: x₀ = -b / (2a) = -4 / (2 * -2) = 1

Tung độ đỉnh: y₀ = f(x₀) = f(1) = -2 * 1² + 4 * 1 - 1 = 1

Vậy đỉnh của parabol là I(1; 1).

3. Tìm trục đối xứng của parabol:

Trục đối xứng của parabol là đường thẳng x = x₀ = x = 1.

4. Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số:

Vì a = -2 < 0, hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 1) và đồng biến trên khoảng (1; +∞).

5. Vẽ đồ thị hàm số:

Để vẽ đồ thị hàm số, ta thực hiện các bước sau:

Xác định đỉnh I(1; 1).
Xác định trục đối xứng x = 1.
Xác định một vài điểm thuộc đồ thị, ví dụ:
- x = 0 => y = -1 => A(0; -1)
- x = 2 => y = -1 => B(2; -1)
Vẽ parabol đi qua các điểm đã xác định và có đỉnh I(1; 1), trục đối xứng x = 1.

Lưu ý khi giải bài tập

Khi giải bài tập về hàm số bậc hai, cần nắm vững các kiến thức cơ bản về:

Định nghĩa hàm số bậc hai.
Công thức tính đỉnh, trục đối xứng, tập xác định, tập giá trị.
Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai.

Ngoài ra, cần rèn luyện kỹ năng giải toán thường xuyên để nắm vững phương pháp và tự tin làm bài tập.

Ứng dụng của hàm số bậc hai trong thực tế

Hàm số bậc hai có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

Tính quỹ đạo của vật ném.
Tính diện tích của một hình chữ nhật có chu vi cho trước.
Mô tả sự thay đổi của một đại lượng theo thời gian.

Tổng kết

Bài tập 7 trang 18 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số bậc hai. Hy vọng với lời giải chi tiết và những lưu ý trên, các em sẽ tự tin hơn khi giải bài tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán.