THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu các bài tập trong mục 3 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo. Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những giải pháp tối ưu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán.
Với đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, Montoan cam kết mang đến cho bạn những bài giải chính xác, đầy đủ và dễ tiếp thu.
Trong không gian (Oxyz), cho mặt phẳng (left( alpha right)) đi qua điểm ({M_0}left( {1;2;3} right)) và nhận (vec n = left( {7;5;2} right)) làm vectơ pháp tuyến. Gọi (Mleft( {x;y;z} right)) là một điểm tuỳ ý trong không gian. Tính tích vô hướng (vec n.overrightarrow {{M_0}M} ) theo (x,y,z).
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 36 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), \(\left( \beta \right)\) có phương trình tổng quát là \(\left( \alpha \right):2x + 2y - 3z - 4 = 0\) và \(\left( \beta \right):x + 4z - 12 = 0\).
a) Tìm một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), \(\left( \beta \right)\).
b) Tìm điểm thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) trong số các điểm \(M\left( {1;0;1} \right)\), \(N\left( {1;1;0} \right)\).
Phương pháp giải:
a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng có phương trình \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó \(A\), \(B\), \(C\) không đồng thời bằng 0) là \(\vec n = \left( {A,B,C} \right)\).
b) Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) nằm trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0\) khi và chỉ khi \(A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(2x + 2y - 3z - 4 = 0\) nên \(\left( \alpha \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left( {2;2; - 3} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) là \(x + 4z - 12 = 0\) nên \(\left( \beta \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} = \left( {1;0;4} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
b) Thay điểm \(M\left( {1;0;1} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), ta được:
\(2.1 + 2.0 - 3.1 - 4 = - 5 \ne 0\).
Vậy điểm \(M\) không thuộc \(\left( \alpha \right)\).
Thay điểm \(N\left( {1;1;0} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), ta được:
\(2.1 + 2.1 - 3.0 - 4 = 0\).
Vậy điểm \(N\) thuộc \(\left( \alpha \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 36 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {A,B,C} \right)\) làm vectơ pháp tuyến. Gọi \(M\left( {x,y,z} \right)\) là một điểm tuỳ ý trong không gian.
a) Tìm toạ độ của \(\overrightarrow {{M_0}M} \).
b) Tính tích vô hướng \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} \).
c) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
a) Toạ độ của \(\overrightarrow {{M_0}M} \) là \(\left( {{x_M} - {x_{{M_0}}};{y_M} - {y_{{M_0}}};{z_M} - {z_{{M_0}}}} \right)\)
b) Sử dụng công thức tích vô hướng để tính \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} \).
c) Để lập được phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), điểm \(M\left( {x,y,z} \right)\) được chọn phải nằm trên \(\left( \alpha \right)\), điều này có nghĩa là \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) Toạ độ của \(\overrightarrow {{M_0}M} \) là \(\left( {{x_M} - {x_{{M_0}}};{y_M} - {y_{{M_0}}};{z_M} - {z_{{M_0}}}} \right) = \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)\)
b) Ta có: \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} = A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right)\)
c) Để lập được phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), điểm \(M\left( {x,y,z} \right)\) được chọn phải nằm trên \(\left( \alpha \right)\), điều này có nghĩa là \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} = 0\).
Suy ra \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 36 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {0,2,1} \right)\) và có cặp vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {1;3;1} \right)\), \(\vec b = \left( {2;0;1} \right)\)
a) Tìm toạ độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
b) Lập phương trình của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
a) Do \(\left( \alpha \right)\) nhận \(\vec a\) và \(\vec b\) làm một cặp vectơ chỉ phương, nên \(\left( \alpha \right)\) sẽ nhận vectơ \(\vec n = \left[ {\vec a,\vec b} \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.
b) Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \({M_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {A;B;C} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến là .
Lời giải chi tiết:
a) Do \(\left( \alpha \right)\) nhận \(\vec a\) và \(\vec b\) làm một cặp vectơ chỉ phương, nên \(\left( \alpha \right)\) sẽ nhận vectơ \(\vec n = \left[ {\vec a,\vec b} \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.
Tích có hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) là:
\(\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {3.1 - 1.0;1.2 - 1.1;1.0 - 3.2} \right) = \left( {3;1; - 6} \right)\).
Vậy \(\left( \alpha \right)\) nhận \(\vec n = \left( {3;1; - 6} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
b) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\left( {0,2,1} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {3;1; - 6} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến, nên phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là:
\(3\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 2} \right) - 6\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 6z + 4 = 0\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 37 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {0;1;1} \right)\), \(B\left( {2;4;3} \right)\), \(C\left( {5;3;1} \right)\).
a) Tìm toạ độ một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
b) Tìm toạ độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
c) Lập phương trình của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
a) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) nên có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
b) Một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).
c) Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \({M_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {A;B;C} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến là \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).
Lời giải chi tiết:
a) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {0;1;1} \right)\), \(B\left( {2;4;3} \right)\), \(C\left( {5;3;1} \right)\) nên có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;3;2} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {5;2;0} \right)\).
b) Do \(\left( \alpha \right)\) có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;3;2} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {5;2;0} \right)\), nên một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) là:
\(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {3.0 - 2.2;2.5 - 2.0;2.2 - 3.5} \right) = \left( { - 4;10; - 11} \right)\).
c) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(A\left( {0;1;1} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( { - 4;10; - 11} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là:
\( - 4\left( {x - 0} \right) + 10\left( {y - 1} \right) - 11\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow - 4x + 10y - 11z + 1 = 0\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 38 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2;0; - 1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {5; - 2;7} \right)\).
b) \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(B\left( { - 2;3;0} \right)\) và có cặp vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {2;2; - 1} \right)\), \(\vec v = \left( {3;1;0} \right)\).
c) \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {2;1;5} \right)\), \(B\left( {3;2;7} \right)\), \(C\left( {4;1;6} \right)\).
d) \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(M\left( {7;0;0} \right)\), \(N\left( {0; - 2;0} \right)\), \(P\left( {0;0;9} \right)\).
Phương pháp giải:
a) Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \({M_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {A;B;C} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến là \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).
b) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left[ {\vec u,\vec v} \right]\). Sau đó viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) khi biết một điểm đi qua và một vectơ pháp tuyến.
c) Xác định một cặp vectơ chỉ phương, từ đó tính tích có hướng của cặp vectơ chỉ phương đó để tìm một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\). Sau đó viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) khi biết một điểm đi qua và một vectơ pháp tuyến.
d) Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
Lời giải chi tiết:
a) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2;0; - 1} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {5; - 2;7} \right)\) nên có phương trình là \(5\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y - 0} \right) + 7\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x - 2y + 7z - 3 = 0\).
b) Một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là:
\(\vec n = \left[ {\vec u,\vec v} \right] = \left( {2.0 - \left( { - 1} \right).1; - 1.3 - 2.0;2.1 - 2.3} \right) = \left( {1; - 3; - 4} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(B\left( { - 2;3;0} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1; - 3; - 4} \right)\) nên có phương trình là \(1\left( {x + 2} \right) - 3\left( {y - 3} \right) - 4\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 4z + 11 = 0\).
c) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {2;1;5} \right)\), \(B\left( {3;2;7} \right)\), \(C\left( {4;1;6} \right)\) nên có 1 cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;2} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {2;0;1} \right)\). Do đó một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1.1 - 2.0;2.2 - 1.1;1.0 - 1.2} \right) = \left( {1;3; - 2} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {2;1;5} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1;3; - 2} \right)\) nên có phương trình là \(1\left( {x - 2} \right) + 3\left( {y - 1} \right) - 2\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 2z + 5 = 0\).
d) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(M\left( {7;0;0} \right)\), \(N\left( {0; - 2;0} \right)\), \(P\left( {0;0;9} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\frac{x}{7} + \frac{y}{{ - 2}} + \frac{z}{9} = 1\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 3 trang 38 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình lăng trụ \(OAB.O'A'B'\). Biết \(O\) là gốc toạ độ, \(A\left( {2;0;0} \right)\), \(B\left( {0;3;0} \right)\), \(O'\left( {0;0;5} \right)\). Viết phương trình các mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) và \(\left( {O'A'B'} \right)\).
Phương pháp giải:
Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) dưới dạng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn. Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {O'A'B'} \right)\) do nó đi qua điểm \(O'\) và có một vectơ pháp tuyến \(OO'\).
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) đi qua \(A\left( {2;0;0} \right)\), \(B\left( {0;3;0} \right)\), \(O'\left( {0;0;5} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{5} = 1\).
Theo hình vẽ, hình lăng trụ \(OAB.O'A'B'\) có các cạnh bên vuông góc với đáy, nên ta có \(OO' \bot \left( {O'A'B'} \right)\). Suy ra \[\overrightarrow {OO'} = \left( {0;0;5} \right)\] là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {O'A'B'} \right)\).
Hơn nữa, mặt phẳng \(\left( {O'A'B'} \right)\) đi qua \(O'\left( {0;0;5} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( {O'A'B'} \right)\) là \(0\left( {x - 0} \right) + 0\left( {y - 0} \right) + 5\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow z - 5 = 0\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 35 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {1;2;3} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {7;5;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến. Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\) là một điểm tuỳ ý trong không gian. Tính tích vô hướng \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} \) theo \(x,y,z\).
Phương pháp giải:
Tính toạ độ vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \), sau đó tính tích vô hướng \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} \).
Lời giải chi tiết:
Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \) là \(\left( {x - 1;y - 2;z - 3} \right)\)
Suy ra \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} = 7\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y - 2} \right) + 2\left( {z - 3} \right) = 7x + 5y + 2z - 23\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 35 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {1;2;3} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {7;5;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến. Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\) là một điểm tuỳ ý trong không gian. Tính tích vô hướng \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} \) theo \(x,y,z\).
Phương pháp giải:
Tính toạ độ vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \), sau đó tính tích vô hướng \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} \).
Lời giải chi tiết:
Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \) là \(\left( {x - 1;y - 2;z - 3} \right)\)
Suy ra \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} = 7\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y - 2} \right) + 2\left( {z - 3} \right) = 7x + 5y + 2z - 23\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 36 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), \(\left( \beta \right)\) có phương trình tổng quát là \(\left( \alpha \right):2x + 2y - 3z - 4 = 0\) và \(\left( \beta \right):x + 4z - 12 = 0\).
a) Tìm một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), \(\left( \beta \right)\).
b) Tìm điểm thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) trong số các điểm \(M\left( {1;0;1} \right)\), \(N\left( {1;1;0} \right)\).
Phương pháp giải:
a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng có phương trình \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó \(A\), \(B\), \(C\) không đồng thời bằng 0) là \(\vec n = \left( {A,B,C} \right)\).
b) Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) nằm trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0\) khi và chỉ khi \(A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(2x + 2y - 3z - 4 = 0\) nên \(\left( \alpha \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left( {2;2; - 3} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) là \(x + 4z - 12 = 0\) nên \(\left( \beta \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} = \left( {1;0;4} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
b) Thay điểm \(M\left( {1;0;1} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), ta được:
\(2.1 + 2.0 - 3.1 - 4 = - 5 \ne 0\).
Vậy điểm \(M\) không thuộc \(\left( \alpha \right)\).
Thay điểm \(N\left( {1;1;0} \right)\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), ta được:
\(2.1 + 2.1 - 3.0 - 4 = 0\).
Vậy điểm \(N\) thuộc \(\left( \alpha \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 36 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {A,B,C} \right)\) làm vectơ pháp tuyến. Gọi \(M\left( {x,y,z} \right)\) là một điểm tuỳ ý trong không gian.
a) Tìm toạ độ của \(\overrightarrow {{M_0}M} \).
b) Tính tích vô hướng \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} \).
c) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
a) Toạ độ của \(\overrightarrow {{M_0}M} \) là \(\left( {{x_M} - {x_{{M_0}}};{y_M} - {y_{{M_0}}};{z_M} - {z_{{M_0}}}} \right)\)
b) Sử dụng công thức tích vô hướng để tính \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} \).
c) Để lập được phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), điểm \(M\left( {x,y,z} \right)\) được chọn phải nằm trên \(\left( \alpha \right)\), điều này có nghĩa là \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) Toạ độ của \(\overrightarrow {{M_0}M} \) là \(\left( {{x_M} - {x_{{M_0}}};{y_M} - {y_{{M_0}}};{z_M} - {z_{{M_0}}}} \right) = \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)\)
b) Ta có: \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} = A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right)\)
c) Để lập được phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), điểm \(M\left( {x,y,z} \right)\) được chọn phải nằm trên \(\left( \alpha \right)\), điều này có nghĩa là \(\vec n.\overrightarrow {{M_0}M} = 0\).
Suy ra \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 36 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {0,2,1} \right)\) và có cặp vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {1;3;1} \right)\), \(\vec b = \left( {2;0;1} \right)\)
a) Tìm toạ độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
b) Lập phương trình của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
a) Do \(\left( \alpha \right)\) nhận \(\vec a\) và \(\vec b\) làm một cặp vectơ chỉ phương, nên \(\left( \alpha \right)\) sẽ nhận vectơ \(\vec n = \left[ {\vec a,\vec b} \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.
b) Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \({M_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {A;B;C} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến là .
Lời giải chi tiết:
a) Do \(\left( \alpha \right)\) nhận \(\vec a\) và \(\vec b\) làm một cặp vectơ chỉ phương, nên \(\left( \alpha \right)\) sẽ nhận vectơ \(\vec n = \left[ {\vec a,\vec b} \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.
Tích có hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) là:
\(\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {3.1 - 1.0;1.2 - 1.1;1.0 - 3.2} \right) = \left( {3;1; - 6} \right)\).
Vậy \(\left( \alpha \right)\) nhận \(\vec n = \left( {3;1; - 6} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
b) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\left( {0,2,1} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {3;1; - 6} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến, nên phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là:
\(3\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 2} \right) - 6\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 6z + 4 = 0\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 37 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {0;1;1} \right)\), \(B\left( {2;4;3} \right)\), \(C\left( {5;3;1} \right)\).
a) Tìm toạ độ một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
b) Tìm toạ độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
c) Lập phương trình của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
a) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) nên có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
b) Một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).
c) Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \({M_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {A;B;C} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến là \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).
Lời giải chi tiết:
a) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {0;1;1} \right)\), \(B\left( {2;4;3} \right)\), \(C\left( {5;3;1} \right)\) nên có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;3;2} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {5;2;0} \right)\).
b) Do \(\left( \alpha \right)\) có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;3;2} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {5;2;0} \right)\), nên một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) là:
\(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {3.0 - 2.2;2.5 - 2.0;2.2 - 3.5} \right) = \left( { - 4;10; - 11} \right)\).
c) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(A\left( {0;1;1} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( { - 4;10; - 11} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là:
\( - 4\left( {x - 0} \right) + 10\left( {y - 1} \right) - 11\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow - 4x + 10y - 11z + 1 = 0\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 38 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2;0; - 1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {5; - 2;7} \right)\).
b) \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(B\left( { - 2;3;0} \right)\) và có cặp vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {2;2; - 1} \right)\), \(\vec v = \left( {3;1;0} \right)\).
c) \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {2;1;5} \right)\), \(B\left( {3;2;7} \right)\), \(C\left( {4;1;6} \right)\).
d) \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(M\left( {7;0;0} \right)\), \(N\left( {0; - 2;0} \right)\), \(P\left( {0;0;9} \right)\).
Phương pháp giải:
a) Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \({M_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {A;B;C} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến là \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).
b) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left[ {\vec u,\vec v} \right]\). Sau đó viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) khi biết một điểm đi qua và một vectơ pháp tuyến.
c) Xác định một cặp vectơ chỉ phương, từ đó tính tích có hướng của cặp vectơ chỉ phương đó để tìm một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\). Sau đó viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) khi biết một điểm đi qua và một vectơ pháp tuyến.
d) Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
Lời giải chi tiết:
a) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2;0; - 1} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {5; - 2;7} \right)\) nên có phương trình là \(5\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y - 0} \right) + 7\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x - 2y + 7z - 3 = 0\).
b) Một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là:
\(\vec n = \left[ {\vec u,\vec v} \right] = \left( {2.0 - \left( { - 1} \right).1; - 1.3 - 2.0;2.1 - 2.3} \right) = \left( {1; - 3; - 4} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(B\left( { - 2;3;0} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1; - 3; - 4} \right)\) nên có phương trình là \(1\left( {x + 2} \right) - 3\left( {y - 3} \right) - 4\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 4z + 11 = 0\).
c) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {2;1;5} \right)\), \(B\left( {3;2;7} \right)\), \(C\left( {4;1;6} \right)\) nên có 1 cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;2} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {2;0;1} \right)\). Do đó một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1.1 - 2.0;2.2 - 1.1;1.0 - 1.2} \right) = \left( {1;3; - 2} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {2;1;5} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1;3; - 2} \right)\) nên có phương trình là \(1\left( {x - 2} \right) + 3\left( {y - 1} \right) - 2\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 2z + 5 = 0\).
d) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(M\left( {7;0;0} \right)\), \(N\left( {0; - 2;0} \right)\), \(P\left( {0;0;9} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\frac{x}{7} + \frac{y}{{ - 2}} + \frac{z}{9} = 1\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 3 trang 38 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình lăng trụ \(OAB.O'A'B'\). Biết \(O\) là gốc toạ độ, \(A\left( {2;0;0} \right)\), \(B\left( {0;3;0} \right)\), \(O'\left( {0;0;5} \right)\). Viết phương trình các mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) và \(\left( {O'A'B'} \right)\).
Phương pháp giải:
Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) dưới dạng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn. Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {O'A'B'} \right)\) do nó đi qua điểm \(O'\) và có một vectơ pháp tuyến \(OO'\).
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) đi qua \(A\left( {2;0;0} \right)\), \(B\left( {0;3;0} \right)\), \(O'\left( {0;0;5} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( {O'AB} \right)\) là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{5} = 1\).
Theo hình vẽ, hình lăng trụ \(OAB.O'A'B'\) có các cạnh bên vuông góc với đáy, nên ta có \(OO' \bot \left( {O'A'B'} \right)\). Suy ra \[\overrightarrow {OO'} = \left( {0;0;5} \right)\] là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {O'A'B'} \right)\).
Hơn nữa, mặt phẳng \(\left( {O'A'B'} \right)\) đi qua \(O'\left( {0;0;5} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( {O'A'B'} \right)\) là \(0\left( {x - 0} \right) + 0\left( {y - 0} \right) + 5\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow z - 5 = 0\).
Mục 3 của SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo tập trung vào các kiến thức về Đạo hàm của hàm số lượng giác. Đây là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản và kỹ năng vận dụng linh hoạt để giải quyết các bài toán liên quan.
Để giải tốt các bài tập trong Mục 3, học sinh cần:
Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số y = sin(2x + 1). Giải: y' = cos(2x + 1) * 2 = 2cos(2x + 1).
Bài 2: Tính đạo hàm của hàm số y = cos(x^2). Giải: y' = -sin(x^2) * 2x = -2xsin(x^2).
Bài 3: Tính đạo hàm của hàm số y = tanx + cotx. Giải: y' = (1/cos^2x) - (1/sin^2x) = (sin^2x - cos^2x) / (sin^2x * cos^2x).
Bài 4: Tính đạo hàm của hàm số y = sin^2x. Giải: y' = 2sinx * cosx = sin(2x).
Bài 5: Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số y = sinx. Giải: y' = cosx; y'' = -sinx.
Bài 6: Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số y = x^2 + 1. Giải: y' = 2x; y'' = 2.
Bài 7: Cho hàm số y = x^3 - 3x + 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số. Giải: y' = 3x^2 - 3. Giải phương trình y' = 0, ta được x = 1 hoặc x = -1. Khảo sát dấu của y' để xác định các điểm cực trị.
Bài 8: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x^3 - 3x + 2. Giải: Dựa vào dấu của y' để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến.
Trong quá trình học và giải bài tập về đạo hàm hàm số lượng giác, bạn cần chú ý:
Hy vọng với những hướng dẫn chi tiết này, các bạn học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập trong Mục 3 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo. Chúc các bạn học tốt!
