THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 2 trang 8,9 sách giáo khoa Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chất lượng cao, đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh. Hãy cùng montoan.com.vn khám phá lời giải chi tiết ngay sau đây!
Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
Trả lời câu hỏi Khám phá 4 trang 8 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hàm số \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right|\) với \(x \ne 0\).
a) Tìm đạo hàm của \(F\left( x \right)\).
b) Từ đó, tìm \(\int {\frac{1}{x}dx} \).
Phương pháp giải:
a) Với \(x > 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln x\). Với \(x < 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln \left( { - x} \right)\), sau đó tính đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trong từng trường hợp trên.
b) Từ câu a, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Với \(x > 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln x\).
Đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) là: \(F'\left( x \right) = \left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}\).
Với \(x < 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln \left( { - x} \right)\).
Đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) là: \(F'\left( x \right) = \left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}\).
Vậy ta có đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}\) là \(F'\left( x \right) = \frac{1}{x}\).
b) Từ câu a, ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right|\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\).
Do đó \(\int {\frac{1}{x}dx = \ln \left| x \right| + C} \)
Trả lời câu hỏi Khám phá 3 trang 8 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
a) Giải thích tại sao \(\int {0dx = C} \) và \(\int {1dx = x + C} \)
b) Tìm đạo hàm của hàm số \(F\left( x \right) = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}\) \(\left( {\alpha \ne - 1} \right)\). Từ đó, tìm \(\int {{x^\alpha }dx} \).
Phương pháp giải:
a) Để chứng minh \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\), ta cần chỉ ra rằng \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\), với lần lượt \(F\left( x \right) = C\) và \(F\left( x \right) = x + C\).
b) Sử dụng công thức tính đạo hàm để tính đạo hàm của \(F\left( x \right) = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}\) và kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Do \(C' = 0\) nên hàm số \(F\left( x \right) = C\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 0\). Như vậy \(\int {0dx = C} \).
Do \(x' = 1\) nên hàm số \(F\left( x \right) = x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 1\). Như vậy \(\int {1dx = x + C} \).
b) Ta có \(F'\left( x \right) = \left( {\frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} \right)' = \frac{{\left( {\alpha + 1} \right){x^\alpha }}}{{\alpha + 1}} = {x^\alpha }\). Vậy ta có \(F\left( x \right) = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}\) \(\left( {\alpha \ne - 1} \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^\alpha }\). Do đó \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 8 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm:
a) \(\int {{x^4}dx} \).
b) \(\int {\frac{1}{{{x^3}}}dx} \).
c) \(\int {\sqrt x dx} \)\(\left( {x > 0} \right)\).
Phương pháp giải:
Biến đổi các biểu thức về dạng \(\int {{x^\alpha }dx} \) và sử dụng công thức \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
Lời giải chi tiết:
a) \(\int {{x^4}dx} = \frac{{{x^{4 + 1}}}}{{4 + 1}} + C = \frac{{{x^5}}}{5} + C\).
b) \(\int {\frac{1}{{{x^3}}}dx} = \int {{x^{ - 3}}dx = \frac{{{x^{ - 3 + 1}}}}{{ - 3 + 1}} + C = \frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}} + C = - \frac{1}{{2{x^2}}} + C} \).
c) \(\int {\sqrt x dx} = \int {{x^{\frac{1}{2}}}dx} = \frac{{{x^{\frac{1}{2} + 1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} + C = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + C = \frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} + C\).
Trả lời câu hỏi Khám phá 5 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
a) Tìm đạo hàm của các hàm số \(y = \sin x\), \(y = - \cos x\), \(y = \tan x\), \(y = - \cot x\).
b) Từ đó, tìm \(\int {\cos xdx} \), \(\int {\sin x} dx\), \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} \), \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} \)
Phương pháp giải:
a) Sử dụng các công thức đạo hàm để tính đạo hàm của các hàm số \(y = \sin x\), \(y = - \cos x\), \(y = \tan x\), \(y = - \cot x\).
b) Từ câu a, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có:
\(\left( {\sin x} \right)' = \cos x\)
\(\left( { - \cos x} \right)' = - \left( { - \sin x} \right) = \sin x\)
\(\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)
\(\left( { - \cot x} \right)' = - \frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)
b) Từ câu a, ta có:
\(\int {\cos xdx} = \sin x + C\)
\(\int {\sin xdx} = - \cos x + C\)
\(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C} \)
\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = - \cot x + C} \)
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \cos x\) thoả mãn \(F\left( 0 \right) + F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\).
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \(\int {\cos xdx} = \sin x + C\), sau đó sử dụng điều kiện \(F\left( 0 \right) + F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) để tìm hằng số \(C\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\cos xdx} = \sin x + C\)
Suy ra \(F\left( 0 \right) = \sin 0 + C = C\) và \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \sin \frac{\pi }{2} + C = 1 + C\)
Do \(F\left( 0 \right) + F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) nên \(C + \left( {1 + C} \right) = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{2}\).
Vậy \(F\left( x \right) = \sin x - \frac{1}{2}\).
Trả lời câu hỏi Khám phá 6 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
a) Tìm đạo hàm của các hàm số \(y = {e^x}\), \(y = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}\) với \(a > 0\), \(a \ne 1\).
b) Từ đó, tìm \(\int {{e^x}dx} \) và \(\int {{a^x}dx} \) (\(a > 0\), \(a \ne 1\)).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức tính đạo hàm để tính đạo hàm của các hàm số \(y = {e^x}\), \(y = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}\)(\(a > 0\), \(a \ne 1\)).
b) Từ câu a, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(\left( {{e^x}} \right)' = {e^x}\) và \(\left( {\frac{{{a^x}}}{{\ln a}}} \right)' = \frac{{{a^x}\ln a}}{{\ln a}} = {a^x}\).
b) Từ câu a, ta có:
\(\int {{e^x}dx} = {e^x} + C\)
\(\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm
a) \(\int {{3^x}dx} \)
b) \(\int {{e^{2x}}dx} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức \(\int {{e^x}dx} = {e^x} + C\) và \(\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\)
Lời giải chi tiết:
a) \(\int {{3^x}dx} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\)
b) \(\int {{e^{2x}}dx} = \int {{{\left( {{e^2}} \right)}^x}dx} = \frac{{{{\left( {{e^2}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {{e^2}} \right)}} + C = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + C\).
Trả lời câu hỏi Khám phá 3 trang 8 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
a) Giải thích tại sao \(\int {0dx = C} \) và \(\int {1dx = x + C} \)
b) Tìm đạo hàm của hàm số \(F\left( x \right) = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}\) \(\left( {\alpha \ne - 1} \right)\). Từ đó, tìm \(\int {{x^\alpha }dx} \).
Phương pháp giải:
a) Để chứng minh \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\), ta cần chỉ ra rằng \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\), với lần lượt \(F\left( x \right) = C\) và \(F\left( x \right) = x + C\).
b) Sử dụng công thức tính đạo hàm để tính đạo hàm của \(F\left( x \right) = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}\) và kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Do \(C' = 0\) nên hàm số \(F\left( x \right) = C\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 0\). Như vậy \(\int {0dx = C} \).
Do \(x' = 1\) nên hàm số \(F\left( x \right) = x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 1\). Như vậy \(\int {1dx = x + C} \).
b) Ta có \(F'\left( x \right) = \left( {\frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} \right)' = \frac{{\left( {\alpha + 1} \right){x^\alpha }}}{{\alpha + 1}} = {x^\alpha }\). Vậy ta có \(F\left( x \right) = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}\) \(\left( {\alpha \ne - 1} \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^\alpha }\). Do đó \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 8 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm:
a) \(\int {{x^4}dx} \).
b) \(\int {\frac{1}{{{x^3}}}dx} \).
c) \(\int {\sqrt x dx} \)\(\left( {x > 0} \right)\).
Phương pháp giải:
Biến đổi các biểu thức về dạng \(\int {{x^\alpha }dx} \) và sử dụng công thức \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
Lời giải chi tiết:
a) \(\int {{x^4}dx} = \frac{{{x^{4 + 1}}}}{{4 + 1}} + C = \frac{{{x^5}}}{5} + C\).
b) \(\int {\frac{1}{{{x^3}}}dx} = \int {{x^{ - 3}}dx = \frac{{{x^{ - 3 + 1}}}}{{ - 3 + 1}} + C = \frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}} + C = - \frac{1}{{2{x^2}}} + C} \).
c) \(\int {\sqrt x dx} = \int {{x^{\frac{1}{2}}}dx} = \frac{{{x^{\frac{1}{2} + 1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} + C = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + C = \frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} + C\).
Trả lời câu hỏi Khám phá 4 trang 8 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hàm số \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right|\) với \(x \ne 0\).
a) Tìm đạo hàm của \(F\left( x \right)\).
b) Từ đó, tìm \(\int {\frac{1}{x}dx} \).
Phương pháp giải:
a) Với \(x > 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln x\). Với \(x < 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln \left( { - x} \right)\), sau đó tính đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trong từng trường hợp trên.
b) Từ câu a, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Với \(x > 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln x\).
Đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) là: \(F'\left( x \right) = \left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}\).
Với \(x < 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln \left( { - x} \right)\).
Đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) là: \(F'\left( x \right) = \left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}\).
Vậy ta có đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}\) là \(F'\left( x \right) = \frac{1}{x}\).
b) Từ câu a, ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right|\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\).
Do đó \(\int {\frac{1}{x}dx = \ln \left| x \right| + C} \)
Trả lời câu hỏi Khám phá 5 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
a) Tìm đạo hàm của các hàm số \(y = \sin x\), \(y = - \cos x\), \(y = \tan x\), \(y = - \cot x\).
b) Từ đó, tìm \(\int {\cos xdx} \), \(\int {\sin x} dx\), \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} \), \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} \)
Phương pháp giải:
a) Sử dụng các công thức đạo hàm để tính đạo hàm của các hàm số \(y = \sin x\), \(y = - \cos x\), \(y = \tan x\), \(y = - \cot x\).
b) Từ câu a, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có:
\(\left( {\sin x} \right)' = \cos x\)
\(\left( { - \cos x} \right)' = - \left( { - \sin x} \right) = \sin x\)
\(\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)
\(\left( { - \cot x} \right)' = - \frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)
b) Từ câu a, ta có:
\(\int {\cos xdx} = \sin x + C\)
\(\int {\sin xdx} = - \cos x + C\)
\(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C} \)
\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = - \cot x + C} \)
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \cos x\) thoả mãn \(F\left( 0 \right) + F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\).
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \(\int {\cos xdx} = \sin x + C\), sau đó sử dụng điều kiện \(F\left( 0 \right) + F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) để tìm hằng số \(C\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\cos xdx} = \sin x + C\)
Suy ra \(F\left( 0 \right) = \sin 0 + C = C\) và \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \sin \frac{\pi }{2} + C = 1 + C\)
Do \(F\left( 0 \right) + F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) nên \(C + \left( {1 + C} \right) = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{2}\).
Vậy \(F\left( x \right) = \sin x - \frac{1}{2}\).
Trả lời câu hỏi Khám phá 6 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
a) Tìm đạo hàm của các hàm số \(y = {e^x}\), \(y = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}\) với \(a > 0\), \(a \ne 1\).
b) Từ đó, tìm \(\int {{e^x}dx} \) và \(\int {{a^x}dx} \) (\(a > 0\), \(a \ne 1\)).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng công thức tính đạo hàm để tính đạo hàm của các hàm số \(y = {e^x}\), \(y = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}\)(\(a > 0\), \(a \ne 1\)).
b) Từ câu a, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(\left( {{e^x}} \right)' = {e^x}\) và \(\left( {\frac{{{a^x}}}{{\ln a}}} \right)' = \frac{{{a^x}\ln a}}{{\ln a}} = {a^x}\).
b) Từ câu a, ta có:
\(\int {{e^x}dx} = {e^x} + C\)
\(\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm
a) \(\int {{3^x}dx} \)
b) \(\int {{e^{2x}}dx} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức \(\int {{e^x}dx} = {e^x} + C\) và \(\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\)
Lời giải chi tiết:
a) \(\int {{3^x}dx} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\)
b) \(\int {{e^{2x}}dx} = \int {{{\left( {{e^2}} \right)}^x}dx} = \frac{{{{\left( {{e^2}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {{e^2}} \right)}} + C = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + C\).
Mục 2 của SGK Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo tập trung vào việc nghiên cứu về đạo hàm của hàm số. Đây là một phần kiến thức quan trọng, nền tảng cho việc giải quyết nhiều bài toán trong chương trình học và các kỳ thi. Việc nắm vững các khái niệm, định lý và kỹ năng liên quan đến đạo hàm là điều cần thiết để đạt kết quả tốt môn Toán.
Mục 2 trang 8,9 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo bao gồm các nội dung chính sau:
Giải:
Giải:
y' = 2x. Tại x = 2, y' = 2 * 2 = 4. Vậy hệ số góc của tiếp tuyến là 4.
Giải:
f'(x) = 3x2 - 6x + 2. Giải phương trình f'(x) = 0, ta được x1 = (3 + √3)/3 và x2 = (3 - √3)/3. Kiểm tra dấu của f'(x) xung quanh các điểm này để xác định điểm cực đại và cực tiểu.
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:
Để học tốt về đạo hàm, các em học sinh nên:
Hy vọng bài giải chi tiết mục 2 trang 8,9 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về đạo hàm và tự tin hơn trong việc giải các bài toán liên quan. Chúc các em học tập tốt!
