Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo

Chuyên đề Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (max, min) của hàm số là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình Toán 12, đặc biệt theo chương trình Chân trời sáng tạo. Việc nắm vững lý thuyết và phương pháp giải quyết các bài toán liên quan là yếu tố then chốt để đạt kết quả cao trong các kỳ thi.

Tại montoan.com.vn, chúng tôi cung cấp một lộ trình học tập bài bản, từ lý thuyết cơ bản đến các bài tập vận dụng nâng cao, giúp bạn tự tin chinh phục chuyên đề này.

1. Định nghĩa Khái niệm GTLN, GTNN của hàm số

1. Định nghĩa

Khái niệm GTLN, GTNN của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

Số M là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) \( \le \) M với mọi \(x \in D\) và tồn tại \({x_0} \in D\) sao cho \(f({x_0})\) = M.

Kí hiệu M = \(\mathop {\max }\limits_{x \in D} f(x)\) hoặc M = \(\mathop {\max }\limits_D f(x)\)

Số m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) \( \ge \) m với mọi \(x \in D\) và tồn tại \({x_0} \in D\) sao cho \(f({x_0})\) = m.

Kí hiệu m = \(\mathop {\min }\limits_{x \in D} f(x)\) hoặc m = \(\mathop {\min }\limits_D f(x)\)

2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Các bước tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):

Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...,{x_n} \in (a;b)\), tại đó f’(x) = 0 hoặc không tồn tại
Tính \(f({x_1}),f({x_2}),...,f({x_n}),f(a)\) và \(f(b)\)
Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:

M = \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x)\); m = \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x)\)

Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + 3\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\)

Ta có: \(y' = 4{x^3} - 8x = 4x({x^2} - 2);y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = \sqrt 2 \) (vì \(x \in \left[ {0;4} \right]\))

y(0) = 3; y(4) = 195; y(\(\sqrt 2 \)) = -1

Do đó: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = y(4) = 195\); \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = y(\sqrt 2 ) = - 1\)

Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo 1

Bạn đang khám phá nội dung Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo trong chuyên mục toán lớp 12 trên nền tảng môn toán. Được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình sách giáo khoa hiện hành, bộ bài tập lý thuyết toán thpt này cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức Toán lớp 12 cho học sinh THPT, thông qua phương pháp tiếp cận trực quan và mang lại hiệu quả học tập vượt trội, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vào đại học.

Ghi chú: Quý thầy, cô giáo và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên MonToan.com.vn bằng cách gửi về:

Facebook: MÔN TOÁN

Email: montoanmath@gmail.com

Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Chân trời sáng tạo

Chuyên đề về giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của hàm số đóng vai trò quan trọng trong chương trình Toán 12, đặc biệt là chương trình Chân trời sáng tạo. Nắm vững kiến thức này không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng cho việc giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong các kỳ thi quan trọng.

1. Khái niệm cơ bản

Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên một khoảng hoặc tập hợp D là giá trị M sao cho f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = M. Tương tự, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên D là giá trị m sao cho f(x) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = m.

2. Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Có nhiều phương pháp để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, tùy thuộc vào dạng hàm số và khoảng xét. Dưới đây là một số phương pháp phổ biến:

Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số: Nếu hàm số đơn điệu trên một khoảng, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất sẽ đạt được tại các mút của khoảng.
Phương pháp sử dụng đạo hàm: Đây là phương pháp phổ biến nhất. Tìm các điểm dừng (điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại) và xét dấu đạo hàm để xác định các điểm cực trị. Sau đó, so sánh các giá trị hàm số tại các điểm cực trị và các mút của khoảng để tìm ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
Phương pháp đánh giá: Sử dụng các bất đẳng thức và các tính chất của hàm số để đánh giá giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

3. Ứng dụng của việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Việc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số có nhiều ứng dụng thực tế, ví dụ:

Bài toán tối ưu hóa: Tìm kích thước tối ưu của một vật thể để đạt được diện tích lớn nhất hoặc chi phí thấp nhất.
Bài toán kinh tế: Tìm mức sản lượng tối ưu để đạt được lợi nhuận cao nhất.
Bài toán vật lý: Tìm vận tốc tối đa hoặc gia tốc tối thiểu.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x² - 4x + 3 trên khoảng [0; 3].

Giải:

Tính đạo hàm: f'(x) = 2x - 4
Tìm điểm dừng: f'(x) = 0 => x = 2
Tính giá trị hàm số tại các điểm dừng và mút của khoảng: f(0) = 3, f(2) = -1, f(3) = 0
So sánh các giá trị: Giá trị lớn nhất là 3 (tại x = 0), giá trị nhỏ nhất là -1 (tại x = 2).

5. Lưu ý khi giải bài toán

Xác định đúng khoảng xét hàm số.
Kiểm tra xem hàm số có liên tục trên khoảng xét hay không.
Tính đạo hàm chính xác.
Xét dấu đạo hàm cẩn thận để xác định các điểm cực trị.
So sánh tất cả các giá trị hàm số tại các điểm cực trị và mút của khoảng để tìm ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

6. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = -x² + 6x - 5 trên khoảng [-1; 3].
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên khoảng [0; 2].

Hy vọng với những kiến thức và phương pháp được trình bày trên, bạn sẽ tự tin hơn khi giải quyết các bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!