THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài tập 3 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi cung cấp đáp án chính xác, dễ hiểu, kèm theo các bước giải chi tiết, giúp các em nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) \(y = 3 + \frac{1}{x}\) b) \(y = \frac{{x - 3}}{{1 - x}}\)
Đề bài
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = 3 + \frac{1}{x}\)
b) \(y = \frac{{x - 3}}{{1 - x}}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số
− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu của hàm số.
− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có)
− Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số
− Xác định các giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ
− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
− Vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết
a) \(y = 3 + \frac{1}{x}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \)
\(y' = - \frac{1}{{{x^2}}} < 0\forall x \in D\) nên hàm số nghịch biến trên D
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (3 + \frac{1}{x}) = 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (3 + \frac{1}{x}) = 3\) nên y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (3 + \frac{1}{x}) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} (3 + \frac{1}{x}) = - \infty \) nên x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow 3 + \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{3}\)
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (\( - \frac{1}{3}\); 0)
b) \(y = \frac{{x - 3}}{{1 - x}}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 1\} \)
\(y' = \frac{{ - 2}}{{{{(1 - x)}^2}}} < 0\forall x \in D\) nên hàm số nghịch biến trên D
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 3}}{{1 - x}} = - 1\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 3}}{{1 - x}} = - 1\) nên y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 3}}{{1 - x}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x - 3}}{{1 - x}} = - \infty \) nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Khi x = 0 thì y = -3 nên (0; -3) là giao của đồ thị hàm số với trục Oy
Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{{1 - x}} = 0 \Leftrightarrow x = 3\)
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (3; 0)
Bài tập 3 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo thuộc chương 1: Hàm số và đồ thị. Bài tập này tập trung vào việc xét tính đơn điệu của hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức về đạo hàm, điều kiện đơn điệu của hàm số và cách xét dấu đạo hàm.
Bài tập yêu cầu xét tính đơn điệu của các hàm số sau trên khoảng được chỉ ra:
Ta có: y' = 3x2 - 6x
Giải phương trình y' = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2.
Xét khoảng (-∞; 0), ta chọn x = -1. Khi đó y'(-1) = 3(-1)2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0.
Vậy hàm số y = x3 - 3x2 + 2 đồng biến trên khoảng (-∞; 0).
Ta có: y' = 4x3 - 12x2 + 8x = 4x(x2 - 3x + 2) = 4x(x - 1)(x - 2)
Giải phương trình y' = 0, ta được x = 0, x = 1, x = 2.
Xét khoảng (0; 1), ta chọn x = 0.5. Khi đó y'(0.5) = 4(0.5)(0.5 - 1)(0.5 - 2) = 2(-0.5)(-1.5) = 1.5 > 0.
Xét khoảng (1; 2), ta chọn x = 1.5. Khi đó y'(1.5) = 4(1.5)(1.5 - 1)(1.5 - 2) = 6(0.5)(-0.5) = -1.5 < 0.
Vậy hàm số y = x4 - 4x3 + 4x2 + 1 đồng biến trên khoảng (0; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; 2).
Ta có: y = (x2 - 2x + 1)(x + 2) = x3 - 2x2 + x + 2x2 - 4x + 2 = x3 - 3x + 2
y' = 3x2 - 3 = 3(x2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)
Giải phương trình y' = 0, ta được x = 1 hoặc x = -1.
Xét khoảng (-2; -1), ta chọn x = -1.5. Khi đó y'(-1.5) = 3((-1.5)2 - 1) = 3(2.25 - 1) = 3(1.25) = 3.75 > 0.
Xét khoảng (-1; 1), ta chọn x = 0. Khi đó y'(0) = 3(02 - 1) = -3 < 0.
Vậy hàm số y = (x - 1)2(x + 2) đồng biến trên khoảng (-2; -1) và nghịch biến trên khoảng (-1; 1).
Việc nắm vững phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số là rất quan trọng trong chương trình Toán 12. Hy vọng với lời giải chi tiết bài tập 3 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về kiến thức này và tự tin hơn trong quá trình học tập.
