Bài 3. Phương trình mặt cầu

Bài 3 trong chương trình Toán 12 tập 2, Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc tìm hiểu phương trình mặt cầu trong không gian. Đây là một kiến thức nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán về hình học không gian, đặc biệt là trong các kỳ thi quan trọng như THPT Quốc gia.

1. Khái niệm cơ bản về mặt cầu

Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách một điểm cố định (gọi là tâm) một khoảng không đổi (gọi là bán kính). Phương trình mặt cầu có dạng:

(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2

Trong đó:

(a, b, c) là tọa độ tâm của mặt cầu
R là bán kính của mặt cầu

2. Các dạng phương trình mặt cầu

Ngoài dạng phương trình tổng quát, phương trình mặt cầu còn có thể được biểu diễn dưới các dạng khác:

Phương trình mặt cầu có tâm tại gốc tọa độ: x^2 + y^2 + z^2 = R^2
Phương trình mặt cầu khi biết đường kính: Nếu hai điểm A(x1, y1, z1) và B(x2, y2, z2) là hai đầu mút của đường kính, thì tâm của mặt cầu là trung điểm của AB và bán kính là nửa độ dài AB.

3. Điều kiện để phương trình là phương trình mặt cầu

Một phương trình có dạng x^2 + y^2 + z^2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi:

A^2 + B^2 + C^2 - D > 0

Khi đó, tâm của mặt cầu là (-A, -B, -C) và bán kính là R = √(A^2 + B^2 + C^2 - D)

4. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Lập phương trình mặt cầu có tâm I(1, -2, 3) và bán kính R = 5.

Giải: Phương trình mặt cầu có dạng:

(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 5^2

(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 25

Ví dụ 2: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + 5 = 0

Giải: Ta có A = -1, B = 2, C = -3, D = 5

A^2 + B^2 + C^2 - D = (-1)^2 + 2^2 + (-3)^2 - 5 = 1 + 4 + 9 - 5 = 9 > 0

Vậy đây là phương trình mặt cầu. Tâm của mặt cầu là (1, -2, 3) và bán kính là R = √9 = 3

5. Mở rộng và ứng dụng

Kiến thức về phương trình mặt cầu có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, như:

Vật lý: Mô tả quỹ đạo của các vật thể chuyển động tròn đều.
Kỹ thuật: Thiết kế các bề mặt cong trong các công trình xây dựng và sản xuất.
Đồ họa máy tính: Tạo ra các mô hình 3D của các vật thể hình cầu.

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về phương trình mặt cầu, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Các em có thể tìm thấy các bài tập trong SGK, sách bài tập, hoặc trên các trang web học toán online như montoan.com.vn.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về phương trình mặt cầu. Chúc các em học tập tốt!